Serie di Funzioni
Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi nello svolgimento di questo quesito:
Si studi la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della serie di funzioni di termine
$ f_n(x)=arctan((nx^2)/(n^4+x^2)) $
Vi ringrazio in anticipo
Si studi la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della serie di funzioni di termine
$ f_n(x)=arctan((nx^2)/(n^4+x^2)) $
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
CIao!
Partiamo dalla convergenza puntuale: cosa puoi dire in merito?
Partiamo dalla convergenza puntuale: cosa puoi dire in merito?
L'unica cosa che mi è venuta in mente è che al crescere di n l'argomento dell'arcotangente è un infinitesimo quindi posso considerare
$ arctan((nx^2)/(n^4+x^2))˜1/n^3 $
che converge
$ arctan((nx^2)/(n^4+x^2))˜1/n^3 $
che converge
@Martoro
ti conviene seguire il consiglio di @anto, e partire dalla convergenza puntuale
ti conviene seguire il consiglio di @anto, e partire dalla convergenza puntuale
In linea di massima la convergenza puntuale del termine generale ti serve per la condizione necessaria per la convergenza.
Io parlavo della convergenza puntuale della serie:
Hai che $arctan((nx^2)/(n^4+x^2))~(nx^2)/(n^4+x^2)~x^2/n^3$
Quindi se $x=0$ allora la serie vale costantemente $0$ e converge
Se $xne0$ cosa puoi dire? Hai una serie a termini positivi(per ogni $x$) che ha lo stesso carattere della serie armonica di indice $3$(Perché?)
Io parlavo della convergenza puntuale della serie:
Hai che $arctan((nx^2)/(n^4+x^2))~(nx^2)/(n^4+x^2)~x^2/n^3$
Quindi se $x=0$ allora la serie vale costantemente $0$ e converge
Se $xne0$ cosa puoi dire? Hai una serie a termini positivi(per ogni $x$) che ha lo stesso carattere della serie armonica di indice $3$(Perché?)
Perché fissato il valore di x questa si comporta come una costante e nella somma rimane solo 1/n^3?
Si esatto, si comporta come una costante.
Significa che “punto per punto” la serie converge perché ha lo stesso carattere della serie armonica di indice $3$ che converge.
Nota che nella somma non rimane solo $1/n^3$ piuttosto si ha che la serie $sum_(n=1)^(+infty)arctan((nx^2)/(n^4+x^4))$ ha lo stesso carattere della serie $sum_(n=1)^(+infty)x^2/n^3=x^2sum_(n=1)^(+infty)1/n^3$
Questo ti basta per concludere che la tua serie converge puntualmente.
Ora, se fin quì è tutto chiaro, passiamo alla convergenza uniforme(o totale).
Sapendo che la convergenza totale implica quella uniforme, potremmo partire da quella totale.
Significa che “punto per punto” la serie converge perché ha lo stesso carattere della serie armonica di indice $3$ che converge.
Nota che nella somma non rimane solo $1/n^3$ piuttosto si ha che la serie $sum_(n=1)^(+infty)arctan((nx^2)/(n^4+x^4))$ ha lo stesso carattere della serie $sum_(n=1)^(+infty)x^2/n^3=x^2sum_(n=1)^(+infty)1/n^3$
Questo ti basta per concludere che la tua serie converge puntualmente.
Ora, se fin quì è tutto chiaro, passiamo alla convergenza uniforme(o totale).
Sapendo che la convergenza totale implica quella uniforme, potremmo partire da quella totale.
Mi verrebbe in mente di cercare una successione di maggioranti per la norma delle funzioni e sfruttare la condizione di Weierstrass, ma non saprei quale...
Un’idea potrebbe essere quella di usare la serie di termine $M_n=s u p_( x inRR)arctan((nx^2)/(n^4+x^2))$
$ M_n=arctan(n) $ ?
Bravo!
È chiaro che la serie avente quel termine generico diverge(perché?)
Dalla non convergenza della serie dei sup puoi affermare che la serie in esame non possa essere totalmente convergente?
È chiaro che la serie avente quel termine generico diverge(perché?)
Dalla non convergenza della serie dei sup puoi affermare che la serie in esame non possa essere totalmente convergente?
arcetan(n) diverge perché gli elementi tendono a π/2, credo.
Non è detto che non converga totalmente, perché il criterio è solo una condizione sufficiente
Non è detto che non converga totalmente, perché il criterio è solo una condizione sufficiente
"Martoro":
arcetan(n) diverge perché gli elementi tendono a π/2, credo.
Si può dire meglio; sai che se una serie converge il suo termine generico deve tendere a $0$ necessariamente e, come hai scritto, $arctan(n)->pi/2$ quindi non può convergere, inoltre la serie associata è a termini positivi quindi può solo divergere o convergere e non potendo convergere sarà necessariamente divergente.
"Martoro":
Non è detto che non converga totalmente, perché il criterio è solo una condizione sufficiente
in questo caso invece è anche necessaria; vediamo un attimo cosa dice la convergenza totale
"pincopallino":
sia $f_n:I->RR$ una successione di funzioni, se vengono verificate le seguenti condizioni allora la serie si dirà totalmente convergente
- esiste una successione ${M_n}_(n in NN)$ di numeri reali per cui $forall n in NN( forallx in I, |f_n(x)|leqM_n)$
- la serie dei maggioranti converge: $sum_(n=0)^(infty)M_n<+infty$
Nota che la prima richiesta ti dice che le funzioni $f_n$ sono tutte limitate.
Per dimostrare che la serie di funzioni non sia totalmente convergente basta mostrare che la serie dei sup diverge, l'idea è questa:
consideriamo una successione di funzioni limitate $f_n:I->RR$ e prendiamo $S_n:=s u p_(x in I)|f_n(x)|$(puoi notare che gli $S_n$ sono tutti finiti essendo le funzioni della successione limitate).
La serie $sum_(n=0)^(+infty)S_n$ è a termini positivi quindi diverge o converge e possiamo avere due risultati:
- la serie converge => abbiamo convergenza totale
- la serie diverge => ?
supponiamo che $sum_(n=0)^(+infty)S_n=+infty$
se per assurdo la serie convergesse totalmente allora esisterebbe una successione ${M_n}_(n in NN)$ che rispetta le ipotesi sopra riportate.
fissato $n in NN$ si ha $f_n(x)leqM_n, forallx in I$ da cui, per proprietà del sup, si ottiene
$S_n=s u p_(x in I)|f_n(x)|leqM_n => +infty=sum_(n=0)^(+infty)S_nleqsum_(n=0)^(+infty)M_n<+infty$
ottenendo una contraddizione.
Quindi la convergenza della serie dei sup è una condizione necessaria e sufficiente affinchè una serie possa essere totalmente convergente.
Hai visto che la serie dei sup, di termine generico ${arctan(n)}_(n in NN)$, non converge e quindi la convergenza non può essere totale.
Se anche questo è chiaro andiamo avanti.
Ti ringrazio per la risposta veramente esaustiva.
Per la convergenza uniforme da dove posso partire?
Per la convergenza uniforme da dove posso partire?
Ancora manca qualcosa; abbiamo considerato la convergenza totale su tutto $RR$, ma cosa possiamo dire sui sottoinsiemi?
La funzione è pari e strettamente monotona sui positivi quindi negli intervalli del tipo $[-a,a]$ con $a>0$ quindi
Considerando che $arctan((na^2)/(n^4+a^2)) ~ a/n^3$ la seguente serie è convergente
Pertanto la serie è totalmente convergente negli intervalli del tipo $[-a,a]$ con $a>0$.
La serie converge totalmente in ogni intervallo limitato contenuto in $RR$
In poche parole l’ultima cosa che manca è la convergenza uniforme su $RR$.
Ci hai pensato?
La funzione è pari e strettamente monotona sui positivi quindi negli intervalli del tipo $[-a,a]$ con $a>0$ quindi
$M_n=s u p_(x in [-a,a])|f_n(x)|= arctan((an^2)/(a^4+n^2))$
Considerando che $arctan((na^2)/(n^4+a^2)) ~ a/n^3$ la seguente serie è convergente
$sum_(n=0)^(+infty)arctan((na^2)/(n^4+a^2))$
Pertanto la serie è totalmente convergente negli intervalli del tipo $[-a,a]$ con $a>0$.
La serie converge totalmente in ogni intervallo limitato contenuto in $RR$
In poche parole l’ultima cosa che manca è la convergenza uniforme su $RR$.
Ci hai pensato?
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