Serie di funzioni

[ludovica.sarandrea]

Ho il seguente esercizio:
$f(x)=1-x^2$ se |x| e' minore o uguale a 1, altrimenti vale zero, $f_n(x)= f(x+n)$, dimostrare che converge puntualmente la serie da n=1 a infinito in R.

Sono davanti una semplice serie numerica quando parlo di convergenza puntuale percio' studio la convergenza della serie. Bene, se io faccio il $lim_(n->oo) f_n(x)=oo$ percio' non ho neanche la condizione necessaria di convergenza di una serie, come faccio quindi a dimostrare una cosa falsa. Sbaglio io o e' il testo errato?

[cooper1]

anche a me sembra possa essere sbagliato il testo. il termine generale della serie anche a me diverge a $-oo$.

[otta96]

Quanto vale $f_n(1)$?

[cooper1]

$f_n(1)=f(1+n)=1-(1+n)^2=-(n^2+n)$ che comunque non mi sembra convergere

[otta96]

No, è costantemente $0$.

[cooper1]

scusa ma non vedo perchè. dalla definizione di f se $x=1$ non dovrei prendere $1-x^2$?
questa tua osservazione però mi fa riflettere sul fatto che per tutti gli $|x|>1$ la funzione è identicamente nulla e quindi per questi dovrebbe convergere in effetti.

[otta96]

Infatti, $f(x)=0$ se $|x|>1$, quindi fissato un $x\inRR$ la successione $f_n(x)$ è definitivamente nulla.

[ludovica.sarandrea]

"otta96":Infatti, $f(x)=0$ se $|x|>1$, quindi fissato un $x\inRR$ la successione $f_n(x)$ è definitivamente nulla.

Si, hai ragione, non avevo pensato a questo piccolo particolare. In realta' il testo originale diceva che $f_n(x)=f(x+a_n)$ con $a_n$ una funzione generica, e mi chiedeva di verificare la convergenza prima per $a_n=n$ e poi generalizzare per successioni $a_n->oo$ e poi a successioni limitate. Deduco che sicuramente per le prime il discorso non cambia e quindi convergono ugualmente, giusto?

[otta96]

Si perché basta che $a_n$ diverga affinché puntualmente la successione sia definitivamente nulla, quindi la serie è una somma finita, in particolare converge.
Il caso in cui la successione è limitata è più difficile da studiare, ma senz'altro si può dire che in generale non converge.