Serie di funzioni
Ciao a tutti;
non riesco a provare che la serie $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^-x}{2+nx} $ non converge puntualmente $ \forallx\in\mathbb{R} $
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie!
non riesco a provare che la serie $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^-x}{2+nx} $ non converge puntualmente $ \forallx\in\mathbb{R} $
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie!
Risposte
Fissata la $x$ a cosa è asintotico il termine generico $a_n$?
"Antimius":
Fissata la $x$ a cosa è asintotico il termine generico $a_n$?
Ok grazie. Uso il criterio asintotico per serie a termini positivi. Nel mio caso è una serie a termini definitivamente positivi ad ogni $x\in\mathbb{R}$ fissato, e quindi il criterio direi che va bene lo stesso. Grazie mille!
Ciao,
vorrei fare una domanda. Perché la serie è a termini definitivamente positivi per ogni $x in \mathbb{R}$? Non riesco a capire. Per esempio se $x=-1$ secondo me la serie
$\sum_(n=0,n \ne 2)^(+\infty) e/(2-n)$ è a termini definitivamente negativi. Sbaglio?
Non che questo cambierebbe la sostanza delle cose, nel senso che il comportamento della serie non cambierebbe. Si tratta solo di un formalismo?
vorrei fare una domanda. Perché la serie è a termini definitivamente positivi per ogni $x in \mathbb{R}$? Non riesco a capire. Per esempio se $x=-1$ secondo me la serie
$\sum_(n=0,n \ne 2)^(+\infty) e/(2-n)$ è a termini definitivamente negativi. Sbaglio?
Non che questo cambierebbe la sostanza delle cose, nel senso che il comportamento della serie non cambierebbe. Si tratta solo di un formalismo?
No infatti ho sbagliato. Non è a termini definitivamente positivi!...In ogni caso direi che fissato $x$ reale la serie è a termini di segno definitivamente costante. Dovrebbe valere lo stesso il criterio asintotico no? Mi sembra che i problemi nascono quando i termini sono di segno variabile. Sbaglio?
Non sbagli, il criterio asintotico si applica lo stesso se la serie è a termini definitivamente negativi, basta portare fuori dalla sommatoria un segno "meno" (detto in maniera un po' brutale 
)
)
Perfetto grazie ..
Mi sapresti mica aiutare anche con questa: $ sum_{k=3}^{\infty}(x+\frac{1}{n})^n $ ?
Se fisso $x\in\mathbb{R}$, il termine generale non si comporta come $\frac{1}{n^n}$? quindi dovrebbe convergere per il criterio dell'ordine. Invece, converge puntualmente, ma non uniformemente,solo su $(-1,1)$
(così ha scritto il prof sul foglio delle soluzioni)
..Mi sapresti mica aiutare anche con questa: $ sum_{k=3}^{\infty}(x+\frac{1}{n})^n $ ?
Se fisso $x\in\mathbb{R}$, il termine generale non si comporta come $\frac{1}{n^n}$? quindi dovrebbe convergere per il criterio dell'ordine. Invece, converge puntualmente, ma non uniformemente,solo su $(-1,1)$
(così ha scritto il prof sul foglio delle soluzioni)
Non si comporta come $\frac{1}{n^n}$. Infatti,
$$\bigg(x+\frac{1}{n} \bigg) ^n = x^n \bigg(1 + \frac{1}{nx} \bigg)^n \sim e^{\frac{1}{x}} x^n$$ per $x \ne 0$. Quindi, si comporta come una serie geometrica.
$$\bigg(x+\frac{1}{n} \bigg) ^n = x^n \bigg(1 + \frac{1}{nx} \bigg)^n \sim e^{\frac{1}{x}} x^n$$ per $x \ne 0$. Quindi, si comporta come una serie geometrica.
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