Serie di funzioni
Buongiorno a tutti. Ho un esercizio su una serie di funzioni. Non so proprio come svolgere il secondo punto che richiede di determinare se c'è convergenza uniforme sull'intervallo $[1/pi,pi]$
La serie è questa: $ sum_(n=1)^infty (xsin(1/(n+1)x^4))/(n^3+n^(1/2)+arctan^2n $
Penso che bisognerebbe valutare l'estremo superiore ma non ho idea di come si proceda. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
La serie è questa: $ sum_(n=1)^infty (xsin(1/(n+1)x^4))/(n^3+n^(1/2)+arctan^2n $
Penso che bisognerebbe valutare l'estremo superiore ma non ho idea di come si proceda. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Risposte
Qual è l'estremo superiore di $xsin(x^4/(n+1))$ per $x in [1/pi, pi]$?, considera che per n "abbastanza grande" il termine $x^4/(n+1)$ è sempre minore di $pi/2$ e maggiore di $0$, e come si comporta la funzione seno in questo intervallo? cresce o decresce all'aumentare di x?...
Ciao! In un qualsiasi compatto $[a,b]$ la funzione $x\sin(\frac{x^4}{n+1})$ ammette massimo $M_{[a;b]}$ quindi puoi sempre maggiorare il valore assoluto del termine generico della serie con $\frac{M_{[a;b]}}{n^3+n^(1/2)+arctan^2n}$ la cui serie associata converge. Quindi hai convergenza totale e dunque uniforme.
"Vulplasir":
Qual è l'estremo superiore di $xsin(x^4/(n+1))$ per $x in [1/pi, pi]$?, considera che per n "abbastanza grande" il termine $x^4/(n+1)$ è sempre minore di $pi/2$ e maggiore di $0$, e come si comporta la funzione seno in questo intervallo? cresce o decresce all'aumentare di x?...
io so che l'estremo superiore del $sin$ è 1 ma non riesco a capire come determinarlo in questo caso. Scusami ma non ho neanche capito il ragionamento che hai fatto te sul fatto che $x^4/(n+1)$ è sempre compreso tra $[0,pi/2]$.
"Bremen000":
Ciao! In un qualsiasi compatto $[a,b]$ la funzione $x\sin(\frac{x^4}{n+1})$ ammette massimo $M_{[a;b]}$ quindi puoi sempre maggiorare il valore assoluto del termine generico della serie con $\frac{M_{[a;b]}}{n^3+n^(1/2)+arctan^2n}$ la cui serie associata converge. Quindi hai convergenza totale e dunque uniforme.
Quello che dici direi sia prorpio quello che devo fare ma non riesco a trovare il massimo.
Per affermare che una serie di funzioni converge totalmente è sufficiente provare che esiste una serie numerica convergente che la maggiora per ogni x, cioè
$ \sum_n f_n(x) $ converge totalemente in $A \in \mathbb{R}$ se esite una successione $(M_n)_n$ tale che $sum_n M_n$ converga e tale che
$$ sup_{x \in A} |f_n(x)| \le M_n \quad \forall x \in A $$
Ora noi abbiamo detto che esiste ed è sufficiente, non è necessario darne un espressione analitica esplicita.
Poi non vorrei ti confondesse $M$... cioè quello che io ho chiamato $M_{[a;b]}$ è un numero, puoi portarlo fuori dalla serie...
$ \sum_n f_n(x) $ converge totalemente in $A \in \mathbb{R}$ se esite una successione $(M_n)_n$ tale che $sum_n M_n$ converga e tale che
$$ sup_{x \in A} |f_n(x)| \le M_n \quad \forall x \in A $$
Ora noi abbiamo detto che esiste ed è sufficiente, non è necessario darne un espressione analitica esplicita.
Poi non vorrei ti confondesse $M$... cioè quello che io ho chiamato $M_{[a;b]}$ è un numero, puoi portarlo fuori dalla serie...
"Bremen000":
Per affermare che una serie di funzioni converge totalmente è sufficiente provare che esiste una serie numerica convergente che la maggiora per ogni x, cioè
$ \sum_n f_n(x) $ converge totalemente in $A \in \mathbb{R}$ se esite una successione $(M_n)_n$ tale che $sum_n M_n$ converga e tale che
$$ sup_{x \in A} |f_n(x)| \le M_n \quad \forall x \in A $$
Ora noi abbiamo detto che esiste ed è sufficiente, non è necessario darne un espressione analitica esplicita.
Poi non vorrei ti confondesse $M$... cioè quello che io ho chiamato $M_{[a;b]}$ è un numero, puoi portarlo fuori dalla serie...
Ok ma quindi come dovrei procedere? come faccio a verificare questo? $$sup_{x \in A} |f_n(x)| \le M_n \quad \forall x \in A $$
Sia $M$ il massimo assunto dalla funzione $|x\sin(\frac{x^4}{1+n})|$ che sappiamo esistere finito (Weierstrass). Allora per ogni $x$ appartenente a $[1/\pi ; pi]$:
$$ |f_n(x)| = |\frac{x\sin(\frac{x^4}{1+n})}{(n^3+n^(1/2)+arctan^2n}| <= \frac{M}{n^3+n^(1/2)+arctan^2n} =:M_n$$
Siccome $\sum_{n=1}^{\infty}M_n < +\infty$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ converge totalmente in $[1/\pi ; pi]$ e dunque ivi converge anche uniformemente.
$$ |f_n(x)| = |\frac{x\sin(\frac{x^4}{1+n})}{(n^3+n^(1/2)+arctan^2n}| <= \frac{M}{n^3+n^(1/2)+arctan^2n} =:M_n$$
Siccome $\sum_{n=1}^{\infty}M_n < +\infty$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ converge totalmente in $[1/\pi ; pi]$ e dunque ivi converge anche uniformemente.
"Bremen000":
Sia $M$ il massimo assunto dalla funzione $|x\sin(\frac{x^4}{1+n})|$ che sappiamo esistere finito (Weierstrass). Allora per ogni $x$ appartenente a $[1/\pi ; pi]$:
$$ |f_n(x)| = |\frac{x\sin(\frac{x^4}{1+n})}{(n^3+n^(1/2)+arctan^2n}| <= \frac{M}{n^3+n^(1/2)+arctan^2n} =:M_n$$
Siccome $\sum_{n=1}^{\infty}M_n < +\infty$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ converge totalmente in $[1/\pi ; pi]$ e dunque ivi converge anche uniformemente.
Intanto ti ringrazio molto, nel caso il prof mi chiedesse di determinare l'estremo superiore come potrei fare?
Quello che ha scritto Vulplasir non è giusto?
"Vulplasir":
Qual è l'estremo superiore di $xsin(x^4/(n+1))$ per $x in [1/pi, pi]$?, considera che per n "abbastanza grande" il termine $x^4/(n+1)$ è sempre minore di $pi/2$ e maggiore di $0$, e come si comporta la funzione seno in questo intervallo? cresce o decresce all'aumentare di x?...
Quello che io volevo dire è che, da un certo $n$ in poi, l'estremo superiore di $xsin(x^4/(n+1))$ per $x in [1/pi, pi]$ è pari a $pisin(pi^4/(n+1))$, quindi da un certo n in poi risulta $(xsin(x^4/(n+1)))/(n^3+sqrtn+arctan^2n)<=(pisin(pi^4/(n+1)))/(n^3+sqrtn+arctan^2n)$
Comunque come ha fatto bremen00 è molto meglio
Comunque come ha fatto bremen00 è molto meglio
"jack1":
Intanto ti ringrazio molto
Di niente!
"jack1":
nel caso il prof mi chiedesse di determinare l'estremo superiore come potrei fare?
Prendere un computer! A parti gli scherzi, si può in linea teorica operare come al solito, calcolare la derivata prima e vedere dove è positiva e fare le dovute considerazioni solo che vengono (mi pare) dei calcoli mostruosi. Cioè determinare per via analitica il massimo è infattibile, dunque credo che una tale domanda non ti verrà mai fatta.
"jack1":
Quello che ha scritto Vulplasir non è giusto?
Questo è da chiedersi a lui! Io non ho capito bene anche se credo sia giusto!
"Vulplasir":
Quello che io volevo dire è che, da un certo $n$ in poi, l'estremo superiore di $xsin(x^4/(n+1))$ per $x in [1/pi, pi]$ è pari a $pisin(pi^4/(n+1))$, quindi da un certo n in poi risulta $(xsin(x^4/(n+1)))/(n^3+sqrtn+arctan^2n)<=(pisin(pi^4/(n+1)))/(n^3+sqrtn+arctan^2n)$
Comunque come ha fatto bremen00 è molto meglio
Ok ti ringrazio ma quindi non c'è nessun calcolo da svolgere giusto?
Ora devi dimostrare che la serie di $(pisin(pi^4/(n+1)))/(n^3+sqrtn+arctan^2n)$ converge, ma la cosa è banale
Per esempio: 
Il prof calcola il limite per trovare la convergenza uniforme. Perchè?
Il prof calcola il limite per trovare la convergenza uniforme. Perchè?
E' la definizione di convergenza uniforme quella scritta dal prof. Tuttavia è più veloce dimostrare che la serie converge totalmente e quindi uniformemente in tale intervallo.
Guarda che l'immagine parla di successioni di funzioni e non di serie di funzioni, sono cose diverse!
"Bremen000":
Guarda che l'immagine parla di successioni di funzioni e non di serie di funzioni, sono cose diverse!
hai ragione.
"Vulplasir":
Ora devi dimostrare che la serie di $(pisin(pi^4/(n+1)))/(n^3+sqrtn+arctan^2n)$ converge, ma la cosa è banale
Ho capito, e direi che la soluzione giusta sia come hai fatto te qui sopra, perchè il nostro prof richiede che troviamo perchè $sum M_n$ converga. Quindi per dire che $sum (pisin(pi^4/(n+1)))/(n^3+sqrtn+arctan^2n)$ converge io farei così:
$sum (pisin(pi^4/(n+1)))/(n^3+sqrtn+arctan^2n)<= pi sum 1/(n^3+sqrtn+arctan^2n)$ e direi che quest'ultima si comporta come
$sum 1/n^3$ che è una serie armonica convergente. Potete correggermi se ho sbagliato? Grazie
Attento a non confondere successione e serie: noi mostriamo che $\sum M_n $ converge e non che $M_n$ converge! Comunque si è giusto, a parte la terminologia "serie armonica" che si usa solo per $\sum 1/n$!
"Bremen000":
Attento a non confondere successione e serie: noi mostriamo che $\sum M_n $ converge e non che $M_n$ converge! Comunque si è giusto, a parte la terminologia "serie armonica" che si usa solo per $\sum 1/n$!
Sisi scusami intendevo $sum M_n$. E anche la serie armonica mi sono dimenticato di dire "generalizzata" essendo di grado
$3$ $>=1$. Ora non posso fare altro che ringraziarvi tutti, mi avete aiutato alla grande
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