Serie di funzioni
$\sum_0^{\infty} frac{(1-e^x)^n}{n+2}$
per la conv puntuale ho trovato $P=(-\infty,log 2]$ e dovrebbe essere giusto
Per l'uniforme non so come fare... potete aiutarmi? grazie
per la conv puntuale ho trovato $P=(-\infty,log 2]$ e dovrebbe essere giusto
Per l'uniforme non so come fare... potete aiutarmi? grazie
Risposte
"kobeilprofeta":
$\sum_0^{\infty} frac{(1-e^x)^n}{n+2}$
Per l'uniforme non so come fare... potete aiutarmi? grazie
Di solito per studiare la convergenza uniforme di una serie di funzioni, si studia la convergenza totale, poiché quest'ultima implica la convergenza uniforme.
Per la convergenza totale devono essere soddisfatte due condizioni:
Deve esistere una successione Mn tale che:
1) $ |f_n(x)|<=M_n $
2) $ sum_(n = \1) M_n $ CONVERGE
Quindi cerca una successione di reali positivi che maggiorano f, e verifica che soddisfi le due condizioni.
Se le due condizioni sono soddisfatte, allora otterrai la convergenza totale, e di conseguenza anche l'UNIFORME.
@beerk penso che questo lo sapesse, il problema è trovare una $M_n$ che soddisfi quelle condizioni
esatto, grazie
non chiedo l'esercizio fatto, vorrei essere guidato almeno all'inizio
grazie
non chiedo l'esercizio fatto, vorrei essere guidato almeno all'inizio
grazie
Chi sa aiutarmi?
Ecco visto che ancora nessuno è riuscito ad aiutarti provo a dirti la mia, anche se è da prendere con le pinze perché anche io sto studiando questi argomenti e non sono ancora ferratissimo.
Cerchiamo una Mn che maggiori il termine generale : $ AA x in R,AA n in N $
Correggetemi se sbaglio, ma se considero
$ M_n=(1-e^x)^n $
Questo maggiora proprio il termine generale della serie.
Se quindi ora studio la serie:
$ sum(1-e^x)^n $
Noto che può essere considerata come una geometrica di ragione:
$ 1-e^x $
.. che risulta convergere per
$ -1 <= 1-e^x <= 1 $
Di conseguenza si trovano i valori di x per cui Mn convergerà.
Ho soddisfatto la seconda richiesta, e quindi ho ottenuto la convergenza totale, che mi implica anche l'uniforme.
Chiaramente questo è un mio tentativo di risoluzione, l'ho postato non perché sono sicuro di quel che ho detto, ma perché, avendo visto che non è stata ancora data risposta, magari con un confronto reciproco riusciamo a trovare un modo giusto per arrivare alla soluzione.
Cerchiamo una Mn che maggiori il termine generale : $ AA x in R,AA n in N $
Correggetemi se sbaglio, ma se considero
$ M_n=(1-e^x)^n $
Questo maggiora proprio il termine generale della serie.
Se quindi ora studio la serie:
$ sum(1-e^x)^n $
Noto che può essere considerata come una geometrica di ragione:
$ 1-e^x $
.. che risulta convergere per
$ -1 <= 1-e^x <= 1 $
Di conseguenza si trovano i valori di x per cui Mn convergerà.
Ho soddisfatto la seconda richiesta, e quindi ho ottenuto la convergenza totale, che mi implica anche l'uniforme.
Chiaramente questo è un mio tentativo di risoluzione, l'ho postato non perché sono sicuro di quel che ho detto, ma perché, avendo visto che non è stata ancora data risposta, magari con un confronto reciproco riusciamo a trovare un modo giusto per arrivare alla soluzione.
Grazie
Però $M_n $ non dovrebbe dipendere da x
Però $M_n $ non dovrebbe dipendere da x
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