Serie di funzioni
Buonasera, ho bisogno di una mano con questo esercizio:
Determinare l'insieme di convergenza assoluta della serie di funzioni
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} \frac{1}{(x^2-1)^n}, x \neq \pm 1 \)
studiare quindi la convergenza totale della serie nell'insieme trovato.
Procedo nel seguente modo:
considero \(\displaystyle \frac{1}{(x^2-1)^n}= \lgroup \frac{1}{x^2-1} \rgroup^n \)
e sostituisco \(\displaystyle t= \frac{1}{x^2-1} \), riconducendomi alle serie di potenze.
Per calcolare il raggio di convergenza utilizzo il criterio del rapporto, ottenendo: \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}} \), il risultato è 1 e quindi la serie converge assolutamente \(\displaystyle \forall t \in (-1,1) \).
Verifico la convergenza negli estremi. Per t=-1, ho semplicemente una serie a segni alterni, quindi applico il criterio di Leibniz
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n= \lim_{n\to \infty} {\frac{1}{n^2+1}}=0 \). Inoltre la disequazione \(\displaystyle a_{n+1}\leqslant a_n \) è verificata, quindi la serie converge.
Per t=1, procedo al confronto con la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \) (che converge!), ovvero
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} \leqslant \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \), per cui anche in 1 ho convergenza.
Dopo aver stabilito l'insieme di convergenza \(\displaystyle t \in [-1,1] \), risolvo il seguente sistema di disequazioni:
$ { ( 1/(x^2-1)\geq -1 ),( 1/(x^2-1) \leq 1 ):} $
Dopo un po' di conti ottengo che $ x\leq-√2 \vee x\geq√2 $
Per cui ho ottenuto il mio insieme di convergenza assoluta: $ x\in(-\infty,-√2] \bigcup [√2,+ \infty) $
Per quanto riguarda quella totale io direi che abbiamo convergenza totale \(\displaystyle \forall x \in I \subseteq (-\infty,-√2] \bigcup [√2,+ \infty) \) dove I è chiuso e limitato.
Secondo voi il processo logico è corretto? Inoltre quanto da me specificato sulla convergenza totale è sufficiente? Scusate il disturbo ma ho problemi con questa tipologia di esercizi, quindi vorrei essere sicuro di non sbagliare. Grazie anticipatamente per l'aiuto!
Determinare l'insieme di convergenza assoluta della serie di funzioni
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} \frac{1}{(x^2-1)^n}, x \neq \pm 1 \)
studiare quindi la convergenza totale della serie nell'insieme trovato.
Procedo nel seguente modo:
considero \(\displaystyle \frac{1}{(x^2-1)^n}= \lgroup \frac{1}{x^2-1} \rgroup^n \)
e sostituisco \(\displaystyle t= \frac{1}{x^2-1} \), riconducendomi alle serie di potenze.
Per calcolare il raggio di convergenza utilizzo il criterio del rapporto, ottenendo: \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}} \), il risultato è 1 e quindi la serie converge assolutamente \(\displaystyle \forall t \in (-1,1) \).
Verifico la convergenza negli estremi. Per t=-1, ho semplicemente una serie a segni alterni, quindi applico il criterio di Leibniz
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n= \lim_{n\to \infty} {\frac{1}{n^2+1}}=0 \). Inoltre la disequazione \(\displaystyle a_{n+1}\leqslant a_n \) è verificata, quindi la serie converge.
Per t=1, procedo al confronto con la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \) (che converge!), ovvero
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} \leqslant \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \), per cui anche in 1 ho convergenza.
Dopo aver stabilito l'insieme di convergenza \(\displaystyle t \in [-1,1] \), risolvo il seguente sistema di disequazioni:
$ { ( 1/(x^2-1)\geq -1 ),( 1/(x^2-1) \leq 1 ):} $
Dopo un po' di conti ottengo che $ x\leq-√2 \vee x\geq√2 $
Per cui ho ottenuto il mio insieme di convergenza assoluta: $ x\in(-\infty,-√2] \bigcup [√2,+ \infty) $
Per quanto riguarda quella totale io direi che abbiamo convergenza totale \(\displaystyle \forall x \in I \subseteq (-\infty,-√2] \bigcup [√2,+ \infty) \) dove I è chiuso e limitato.
Secondo voi il processo logico è corretto? Inoltre quanto da me specificato sulla convergenza totale è sufficiente? Scusate il disturbo ma ho problemi con questa tipologia di esercizi, quindi vorrei essere sicuro di non sbagliare. Grazie anticipatamente per l'aiuto!
Risposte
Up.. 
Credo sia corretto 
P.s. Se puoi, ho postato anch'io un esercizio sulle serie (in particolare sugli sviluppi in serie di Taylor-McLaurin), magari guardalo e mi dai un'opinione
P.s. Se puoi, ho postato anch'io un esercizio sulle serie (in particolare sugli sviluppi in serie di Taylor-McLaurin), magari guardalo e mi dai un'opinione
"salt21":
Credo sia corretto
P.s. Se puoi, ho postato anch'io un esercizio sulle serie (in particolare sugli sviluppi in serie di Taylor-McLaurin), magari guardalo e mi dai un'opinione
Ok, vediamo se riesco a darti una mano (dubito, ma ci provo).
Ho controllato, ma sinceramente non saprei aiutarti! 
Grazie lo stesso, @Enri93 
Credo di aver risolto 
Credo di aver risolto
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