Serie di funzioni!!
Salve a tutti! Ho dei problemi con le serie di funzioni, più che altro sullo svolgimento degli esercizi.
Per esercitarmi ho svolto tra i tanti esercizi, queste serie e volevo sapere se la risoluzione era giusta. Le due serie sono:
$ 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2 (1+n^2 \sin x^2 )} $
$ 2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ln (1+nx)}{n x^n} $
(Si richiede di studiare la convergenza di queste serie)
Allora il primo esercizio l'ho svolto in questo modo:
Studio la convergenza puntiforme e quindi , passando al limite per $ n\rightarrow +\infty $ la serie risulta essere convergente puntualmente poiché $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac {1} {n^2 (1+n^2 \sin x^2)} = 0 $
Per quanto riguarda la convergenza uniforme invece non mi trovo con i calcoli..
Mentre per il secondo esercizio utilizzando il teorema di Cauchy:
$ \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac {\ln ^{1/n} (1+nx)}{n^{1/n} x} =1 $ Pertanto il raggio di convergenza è 1 e l'intervallo di convergenza è $ (-1,1) $ . Anche qui calcolando per $ x= 1$ e per $ x =-1$ ho avuto dei problemi.. Grazie a chi risponderà!
Per esercitarmi ho svolto tra i tanti esercizi, queste serie e volevo sapere se la risoluzione era giusta. Le due serie sono:
$ 1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2 (1+n^2 \sin x^2 )} $
$ 2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ln (1+nx)}{n x^n} $
(Si richiede di studiare la convergenza di queste serie)
Allora il primo esercizio l'ho svolto in questo modo:
Studio la convergenza puntiforme e quindi , passando al limite per $ n\rightarrow +\infty $ la serie risulta essere convergente puntualmente poiché $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac {1} {n^2 (1+n^2 \sin x^2)} = 0 $
Per quanto riguarda la convergenza uniforme invece non mi trovo con i calcoli..
Mentre per il secondo esercizio utilizzando il teorema di Cauchy:
$ \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac {\ln ^{1/n} (1+nx)}{n^{1/n} x} =1 $ Pertanto il raggio di convergenza è 1 e l'intervallo di convergenza è $ (-1,1) $ . Anche qui calcolando per $ x= 1$ e per $ x =-1$ ho avuto dei problemi.. Grazie a chi risponderà!
Risposte
"Fra27":
Studio la convergenza puntiforme e quindi , passando al limite per $ n\rightarrow +\infty $ la serie risulta essere convergente puntualmente poiché $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac {1} {n^2 (1+n^2 \sin x^2)} = 0 $
No, per il criterio di convergenza di Cauchy hai verificato che la serie potrebbe convergere. Il criterio stabilisce una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie. Detto questo, dobbiamo scegliere un criterio per stabilire se la serie converge. Secondo me è conveniente utilizzare il confronto asintotico con la serie armonica generalizzata con \(\displaystyle \alpha=2 \) (che è convergente). Si vede già ad occhio ma per fare le cose precise dobbiamo studiare il seguente limite :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2(1+n^2sin(x^2))} = 0 \)
Quindi per il criterio del confronto asintotico abbiamo che :
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2(1+n^2sin(x^2))} < \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)
quindi, per confronto, la serie converge puntualmente.
"Fra27":
Per quanto riguarda la convergenza uniforme invece non mi trovo con i calcoli..
Per studiare la convergenza uniforme abbiamo solo due possibilità :
- 1) La serie non verifica la condizione necessaria per la convergenza uniforme e quindi non converge uniformemente
2) La serie soddisfa la condizione necessaria e per verificare la convergenza ricorriamo allo studio della convergenza totale (che implica quella puntuale, assoluta ed uniforme)[/list:u:9l6f43ve]
Ponendo :
\(\displaystyle f_n(x) = \frac{1}{n^2(1+n^2sin(x^2))} \)
Abbiamo che, per il criterio di Cauchy visto all'inizio \(\displaystyle f_n(x) \to f(x)=0 \), inoltre :
\(\displaystyle sup f_n(x) = \lim_{x \to 0} f_n(x) = \frac{1}{n^2} \)
Pertanto, la condizione necessaria per la convergenza uniforme è verificata, infatti :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} sup |f_n(x)-f(x)| = 0 \)
Quindi la serie può convergere uniformemente. Per verificare se realmente converge uniformemente studiamo la convergenza totale con l'usuale metodo della derivata.
\(\displaystyle f'_n(x) = - \frac{2xn^2cos(x^2)}{(n^2(1+n^2sin(x^2))^2} \)
Questa si annulla nei punti \(\displaystyle x=0, \sqrt(\frac{\pi}{2}), \sqrt(\frac{3\pi}{2}) \). Analizziamo cosa accade in questi punti :
\(\displaystyle f_n(0) = \frac{1}{n^2} \)
Quindi la serie converge.
\(\displaystyle f_n(\sqrt(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{n^2(1+n^2)} = \frac{1}{n^4} \)
Quindi la serie converge.
\(\displaystyle f_n(\sqrt(\frac{3\pi}{2})) = \frac{1}{n^2(1-n^2)} = - \frac{1}{n^4} \)
E anche questa converge, pertanto possiamo concludere che la serie converge totalmente (e quindi assolutamente, puntualmente ed uniformemente) nell'insieme di definizione.
"Fra27":
Mentre per il secondo esercizio utilizzando il teorema di Cauchy-Hadamard:
$ \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac {\ln ^{1/n} (1+nx)}{n^{1/n} x} =1 $ Pertanto il raggio di convergenza è 1 e l'intervallo di convergenza è $ (-1,1) $ . Anche qui calcolando per $ x= 1$ e per $ x =-1$ ho avuto dei problemi.. Grazie a chi risponderà!
Intanto vorrei farti notare che la serie di potenze si ottiene per \(\displaystyle t=\frac{1}{x} \), quindi, quando devi calcolare i valori estremi \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle -1 \) li dovrai sostuire ad \(\displaystyle \frac{1}{x} \). Questo va fatto per correttezza. In questo caso hai due valori che possono essere "ribaltati" senza cambio di significato, ma se avessi avuto ad esempio \(\displaystyle 4 \) e \(\displaystyle -4 \) la situazione cambiava e non di poco..
Detto questo guardiamo cosa succede per \(\displaystyle \frac{1}{x} = 1 \) . La serie numerica da studiare è :
\(\displaystyle \sum_{n=0} (-1)^n \frac{log(1-n)}{n} \)
Questa è una serie a segni alterni e va verificata la convergenza con il criterio di Leibnitz. Innanzitutto osserviamo che il limite per \(\displaystyle n \to \infty \) vale (per il teorema di de L'Hopital) :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{log(1-n)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{dn} log(1-n)}{\frac{d}{dn} n} = \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{1-n} = 0\)
Quindi la prima condizione del criterio di Leibnitz è verificata, inoltre, possiamo vedere a occhio che la successione \(\displaystyle a_n \) è monotòna decrescente, pertanto possiamo concludere che la serie risulta essere convergente secondo Leibnitz.
Adesso passiamo a \(\displaystyle \frac{1}{x} = 1 \), la serie numerica da studiare è :
\(\displaystyle \sum_{n=0} \frac{log(1+n)}{n} \)
Verifichiamo se la serie può convergere secondo Cauchy calcolando il seguente limite (a cui applichiamo de L'Hopital) :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{log(1+n)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{dn} log(1+n)}{\frac{d}{dn} n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+n} = 0\)
Bene, può convergere. Per studiare la convergenza possiamo utilizzare gli sviluppi in serie di Taylor per studiare il comportament asintotico della serie numerica. In particolare ci interessa farlo per sviluppare il logaritmo :
\(\displaystyle \sum_{n=0} \frac{log(1+n)}{n} > \sum_{n=0} \frac{n-\frac{n^2}{2}}{n} = \sum_{n=0} 2-n\)
Quindi abbiamo trovato che in realtà la serie non converge. Allora in definitiva possiamo concludere dicendo che la serie converge per \(\displaystyle \frac{1}{x}\in [-1, 1[ \). Inoltre, converge uniformemente in tutti i sottointervalli del tipo \(\displaystyle [a,b]\subset[-1,1[ \)
Del primo esercizio ho capito tutto, sei stato chiarissimo! Quindi il criterio di convergenza di Cauchy non è sufficiente per determinare la convergenza di una serie :S .
Poi per quando riguarda il secondo quando tu dici che :
perché la c'è $ \frac{1}{x} $ ? Cioè ad esempio in alcune serie svolte dal prof, le x vengono omesse dallo studio della convergenza mentre in altre vengono poste uguali ad altri "parametri". Chiedo scusa per la domanda stupida ma non le ho mai amate le serie
Adesso ne ho fatta un'altra per vedere se avevo capito il ragionamento. La serie è la seguente:
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1-e^{-nx^2}}{n^2} $
Allora in questo caso per il criterio di convergenza di Cauchy la serie potrebbe convergere perché il $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1-e^{-nx^2}}{n^2}=0 $ . Per stabilire se è convergente o no utilizzo il confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, passando al limite
$ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{(1-e^{-nx^2})(n^2)}{n^2} = 1 $
Pertanto la serie converge puntualmente con raggio di convergenza $ r=1$.
Per la convergenza totale calcolo la derivata prima $ f_n'(x) = \frac {1}{n^2} (e^{-nx^2} 2xn) $
Quindi $ f_n ' (x) =0 x =0$
$ f_n(0) = 0 $ quindi la serie converge totalmente. E' giusto??
Poi per quando riguarda il secondo quando tu dici che :
"Oiram92":
la serie di potenze si ottiene per $t = \frac{1}{x} $
perché la c'è $ \frac{1}{x} $ ? Cioè ad esempio in alcune serie svolte dal prof, le x vengono omesse dallo studio della convergenza mentre in altre vengono poste uguali ad altri "parametri". Chiedo scusa per la domanda stupida ma non le ho mai amate le serie
Adesso ne ho fatta un'altra per vedere se avevo capito il ragionamento. La serie è la seguente:
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1-e^{-nx^2}}{n^2} $
Allora in questo caso per il criterio di convergenza di Cauchy la serie potrebbe convergere perché il $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1-e^{-nx^2}}{n^2}=0 $ . Per stabilire se è convergente o no utilizzo il confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, passando al limite
$ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{(1-e^{-nx^2})(n^2)}{n^2} = 1 $
Pertanto la serie converge puntualmente con raggio di convergenza $ r=1$.
Per la convergenza totale calcolo la derivata prima $ f_n'(x) = \frac {1}{n^2} (e^{-nx^2} 2xn) $
Quindi $ f_n ' (x) =0 x =0$
$ f_n(0) = 0 $ quindi la serie converge totalmente. E' giusto??
Intanto scusami se ti rispondo con un pò di ritardo ma sto preparando anche io l'esame di Analisi II e non guardo spessissimo il forum 
Dunque, la prima serie che avevi proposto è una serie di funzioni, mentre la seconda è una serie di potenze. La differenza sta nel fatto che :
Le serie di potenze sono tutte quelle serie in cui è presente un termine del tipo \(\displaystyle x^n \), infatti, la forma canonica delle serie di potenze è del tipo :
dove \(\displaystyle x_0 \) è il centro della serie. Quando riesci ad individuare una forma del tipo visto sopra, vai a studiare soltanto la convergenza della successione \(\displaystyle a_n \) ed in seguito (trovando il raggio di convergenza) stabilisci per quali valori di \(\displaystyle x \) la serie converge. Quindi, questo è il caso in cui la \(\displaystyle x \) viene omessa dallo studio. Ma nota bene! Viene omesso soltanto il termine \(\displaystyle x^n \)! Se la successione \(\displaystyle a_n \) contiene dei termini con la \(\displaystyle x \), essi fanno parte della successione e pertanto vanno obbligatoriamente studiati! Ti faccio due esempi :
in questo caso la successione \(\displaystyle a_n = \frac{1}{1+n^2x} \) e va studiata per intero, senza trascurare la \(\displaystyle x \) al denominatore. Mentre se avessi avuto :
la successione era \(\displaystyle a_n = \frac{1}{1+n^2} \). Quindi in sostanza, per questo tipo di serie tu trascuri soltanto il termine \(\displaystyle x^n \) e nulla più.
Ti ricordo inoltre, che parlare di raggio di convergenza ha senso soltanto per le serie di potenze.
Per la serie di funzioni vai a studiare la convergenza della successione che figura come termine generale della serie. Ad esempio, per la prima serie hai che :
Dato che non figurano termini del tipo \(\displaystyle x^n \) allora la serie è in particolare una serie di funzioni ed il termine generale è :
In questo caso \(\displaystyle x \) viene considerato (perchè lo è) come un numero reale fissato. Questo significa che quando andrai a studiare la convergenza con uno dei vari criteri di convergenza, quando capiterà di calcolare un limite del tipo :
Questo solo per farti vedere che, essendo \(\displaystyle x \) un numero reale fissato, avrai il limite di una quantità fissa (un numero anche molto grande) diviso un infinito. Quindi in conclusione, per le serie di funzioni, includi la \(\displaystyle x \) nello studio della convergenza, ma sai a priori che confrontando la \(\displaystyle x \) con la variabile \(\displaystyle n \), stai confrontando un numero con un valore che tende ad \(\displaystyle \infty \) e quindi in alcuni casi sarà trascurabile. Facendo gli esercizi si acquisisce maggiormente la tecnica di ragionamento.
Per quanto riguarda il termine \(\displaystyle \frac{1}{x} \) è dovuto al confronto con la serie di potenze in forma canonica. Se guardiamo la seconda serie che hai proposto :
si nota subito il termine \(\displaystyle x^n \) al denominatore e quindi è di certo una serie di potenze, tuttavia non è ancora scritta in forma normale. Vediamo di esplicitarla :
da cui ricaviamo che il centro \(\displaystyle x_0 = 0 \) ossia l'origine. Siccome nella forma canonica il termine con la \(\displaystyle x \) è del tipo \(\displaystyle x^n \) e non \(\displaystyle x^{-n} \) allora risulta necessario definire una nuova variabile \(\displaystyle t \). Osservando che \(\displaystyle (x-0)^{-n} = x^{-n} = [x^{-1}]^n \) , possiamo porre \(\displaystyle t=x^{-1} \) in modo da ottenere la serie in forma canonica.
Tutto chiaro?
Vediamo
Esatto!
Corretto
PS : a volte non è così immediato trovare una serie con cui confrontare la serie di partenza quindi fai un pò di pratica anche con il criterio della radice ed il criterio del rapporto (e ricorda la formula del criterio di Raabe, quest'ultima viene utilizzata in casi rarissimi, ma è molto utile quando gli altri criteri falliscono, perchè (per quanto mi è capitato), usandolo come ultima spiaggia sono sempre riuscito a trovare una soluzione adatta al caso).
Si però...
..no. Non figura nessun termine con \(\displaystyle x^n \), pertanto questa è una serie di funzioni e non di potenze. Quindi non ha senso parlare di raggio di convergenza. Hai invece verificato che :
e quindi la serie converge puntualmente e punto. Non c'è nessun raggio di convergenza.
Corretto anche questo Quando hai trovato che \(\displaystyle f_n(0)=0 \) hai trovato che nell'intervallo di definizione, la serie di funzioni si comporta come :
che è una serie di termine costantemente nullo e quindi convergente a \(\displaystyle 0 \). Pertanto la serie converge totalmente e quindi puntualmente, assolutamente ed uniformemente.
"Fra27":
Cioè ad esempio in alcune serie svolte dal prof, le x vengono omesse dallo studio della convergenza mentre in altre vengono poste uguali ad altri "parametri". Chiedo scusa per la domanda stupida ma non le ho mai amate le serie
Dunque, la prima serie che avevi proposto è una serie di funzioni, mentre la seconda è una serie di potenze. La differenza sta nel fatto che :
Le serie di potenze sono tutte quelle serie in cui è presente un termine del tipo \(\displaystyle x^n \), infatti, la forma canonica delle serie di potenze è del tipo :
\(\displaystyle \sum_{n=0} a_n(x-x_0)^n \)
dove \(\displaystyle x_0 \) è il centro della serie. Quando riesci ad individuare una forma del tipo visto sopra, vai a studiare soltanto la convergenza della successione \(\displaystyle a_n \) ed in seguito (trovando il raggio di convergenza) stabilisci per quali valori di \(\displaystyle x \) la serie converge. Quindi, questo è il caso in cui la \(\displaystyle x \) viene omessa dallo studio. Ma nota bene! Viene omesso soltanto il termine \(\displaystyle x^n \)! Se la successione \(\displaystyle a_n \) contiene dei termini con la \(\displaystyle x \), essi fanno parte della successione e pertanto vanno obbligatoriamente studiati! Ti faccio due esempi :
\(\displaystyle \sum_{n=0} \frac{x^n}{1+n^2x} = \sum_{n=0} \frac{1}{1+n^2x} x^n \)
in questo caso la successione \(\displaystyle a_n = \frac{1}{1+n^2x} \) e va studiata per intero, senza trascurare la \(\displaystyle x \) al denominatore. Mentre se avessi avuto :
\(\displaystyle \sum_{n=0} \frac{x^n}{1+n^2} = \sum_{n=0} \frac{1}{1+n^2} x^n \)
la successione era \(\displaystyle a_n = \frac{1}{1+n^2} \). Quindi in sostanza, per questo tipo di serie tu trascuri soltanto il termine \(\displaystyle x^n \) e nulla più.
Ti ricordo inoltre, che parlare di raggio di convergenza ha senso soltanto per le serie di potenze.
Per la serie di funzioni vai a studiare la convergenza della successione che figura come termine generale della serie. Ad esempio, per la prima serie hai che :
\(\displaystyle \sum_{n=0} \frac{1}{n^2(1+n^2sin(x^2))} \)
Dato che non figurano termini del tipo \(\displaystyle x^n \) allora la serie è in particolare una serie di funzioni ed il termine generale è :
\(\displaystyle a_n = \frac{1}{n^2(1+n^2sin(x^2))} \)
In questo caso \(\displaystyle x \) viene considerato (perchè lo è) come un numero reale fissato. Questo significa che quando andrai a studiare la convergenza con uno dei vari criteri di convergenza, quando capiterà di calcolare un limite del tipo :
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x^{200}}{n^3} = 0 \)
Questo solo per farti vedere che, essendo \(\displaystyle x \) un numero reale fissato, avrai il limite di una quantità fissa (un numero anche molto grande) diviso un infinito. Quindi in conclusione, per le serie di funzioni, includi la \(\displaystyle x \) nello studio della convergenza, ma sai a priori che confrontando la \(\displaystyle x \) con la variabile \(\displaystyle n \), stai confrontando un numero con un valore che tende ad \(\displaystyle \infty \) e quindi in alcuni casi sarà trascurabile. Facendo gli esercizi si acquisisce maggiormente la tecnica di ragionamento.
"Fra27":
perché la c'è $ \frac{1}{x} $ ?
Per quanto riguarda il termine \(\displaystyle \frac{1}{x} \) è dovuto al confronto con la serie di potenze in forma canonica. Se guardiamo la seconda serie che hai proposto :
\(\displaystyle \sum_{n=0} \frac{ln(1+nx)}{nx^n} \)
si nota subito il termine \(\displaystyle x^n \) al denominatore e quindi è di certo una serie di potenze, tuttavia non è ancora scritta in forma normale. Vediamo di esplicitarla :
\(\displaystyle \sum_{n=0} \frac{ln(1+nx)}{nx^n} = \sum_{n=0} \frac{ln(1+nx)}{n} (x-0)^{-n} \)
da cui ricaviamo che il centro \(\displaystyle x_0 = 0 \) ossia l'origine. Siccome nella forma canonica il termine con la \(\displaystyle x \) è del tipo \(\displaystyle x^n \) e non \(\displaystyle x^{-n} \) allora risulta necessario definire una nuova variabile \(\displaystyle t \). Osservando che \(\displaystyle (x-0)^{-n} = x^{-n} = [x^{-1}]^n \) , possiamo porre \(\displaystyle t=x^{-1} \) in modo da ottenere la serie in forma canonica.
Tutto chiaro?
"Fra27":
Adesso ne ho fatta un'altra per vedere se avevo capito il ragionamento.
Vediamo
"Fra27":
Allora in questo caso per il criterio di convergenza di Cauchy la serie potrebbe convergere perché il $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1-e^{-nx^2}}{n^2}=0 $ .
Esatto!
"Fra27":
Per stabilire se è convergente o no utilizzo il confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, passando al limite
$ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{(1-e^{-nx^2})(n^2)}{n^2} = 1 $
Corretto
PS : a volte non è così immediato trovare una serie con cui confrontare la serie di partenza quindi fai un pò di pratica anche con il criterio della radice ed il criterio del rapporto (e ricorda la formula del criterio di Raabe, quest'ultima viene utilizzata in casi rarissimi, ma è molto utile quando gli altri criteri falliscono, perchè (per quanto mi è capitato), usandolo come ultima spiaggia sono sempre riuscito a trovare una soluzione adatta al caso).
"Fra27":
Pertanto la serie converge puntualmente [...]
Si però...
"Fra27":
[...] con raggio di convergenza $ r=1$.
..no. Non figura nessun termine con \(\displaystyle x^n \), pertanto questa è una serie di funzioni e non di potenze. Quindi non ha senso parlare di raggio di convergenza. Hai invece verificato che :
\(\displaystyle \sum_{n=0} \frac{1-e^{-nx^2}}{n^2} < \sum_{n=0} \frac{1}{n^2} \)
e quindi la serie converge puntualmente e punto. Non c'è nessun raggio di convergenza.
"Fra27":
Per la convergenza totale calcolo la derivata prima $ f_n'(x) = \frac {1}{n^2} (e^{-nx^2} 2xn) $
Quindi $ f_n ' (x) =0 x =0$
$ f_n(0) = 0 $ quindi la serie converge totalmente. E' giusto??
Corretto anche questo
Quando hai trovato che \(\displaystyle f_n(0)=0 \) hai trovato che nell'intervallo di definizione, la serie di funzioni si comporta come :\(\displaystyle \sum_{n=0} \frac{1-e^{-nx^2}}{n^2} = \sum_{n=0} 0 \)
che è una serie di termine costantemente nullo e quindi convergente a \(\displaystyle 0 \). Pertanto la serie converge totalmente e quindi puntualmente, assolutamente ed uniformemente.
Grazie per le spiegazioni!! Rispondo solo ora perche ho avuto lo scritto di Analisi II e non mi sono più collegata sul sito. Comunque grazie ancora per l'aiuto!!
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