Serie di funzioni

[fabiomagnifico87]

Qual è l'insieme di convergenza puntuale e uniforme di questa serie?
$\sum_{n=2}^\infty ((log n) ^(3-x))/(n-1)$

[ostrogoto1]

Per la convergenza puntuale c'e' un teorema che mi permette facilmente di concludere:
$ sum_(k=2)^(+oo)1/(k^p(logk)^q) $ converge se e solo se $ p>1 $ et $ AAqinRR $ oppure se $ p=1 $ e $ AAq>1 $.

[fabiomagnifico87]

Qual è il teorema a cui ti riferisci? Perchè io quello che tu hai scritto lo uso per la convergenza degli integrali.

[ostrogoto1]

Il teorema si trova nel capitolo dedicato alle serie numeriche del libro "Maderna-Soardi", dopo aver enunciato i criteri per le serie a mo' di esempio studia la serie indicata e raccoglie i risultati in un teorema. Questo nella mia edizione vecchiotta, non se sia cambiato qualcosa nelle eventuali edizioni successive...

Se non mi lasci usare il teorema, adatto la dimostrazione del teorema nel caso in questione :

$ sum_(k=2)^(+oo)1/((k-1)(logk)^q) $ converge se e solo se $ q>1 $.
[uso q al posto dell'esponente dell'esercizio; tira tu le conclusioni per x]

Se $ q<=0" "AAk>=3 $ si ha $ 1/k<1/(k-1)<=1/((k-1)(logk)^q) $ quindi la serie diverge per il criterio del confronto con la serie $ sum_(k=1)^(+oo)1/k $.

Se $ q>0 $ allora uso il criterio di condensazione: la serie converge se e solo se converge $ sum_(k=1)^(+oo)2^k/((2^k-1)(log2^k)^q) $.
$ 2^k/((2^k-1)(log2^k)^q)<=2/(log2)^q*1/k^q $ per $ k>=1 $ che converge per $ q>1 $.
$ 1/(log2)^q*1/k^q<=2^k/((2^k-1)(log2^k)^q) $ ed essendo $ 1/k^q $ divergente per $ 0

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