Serie di Funzioni
Salve a tutti,sono Luigi! Fra qualche giorno devo dare l'esame di Analisi II. Avrei bisogno di risolvere questo esercizio. Potresti darmi una mano? Grazie in anticipo e buona serata!
Vi scrivo la soluzione da me ottenuta.(sbagliata secondo il mio prof di analisi)
studiare la serie :
$\sum_{n=1}^oo 1/n arctg(1/n * 1/x)$
SOLUZIONE DA ME OTTENUTA:
-Convergenza puntuale:
$\lim_{n\to\infty} 1/n arctg(1/n * 1/x) =0 $ ; Converge puntualmente alla funzione identicamente nulla $AA$x $!=$ 0
-Convergenza uniforme:
$|1/n arctg(1/n * 1/x)| = |1/n^2 * 1/x * arctg(1/n * 1/x) *n*x| <= 1/n^2 * 1/|x| <= 1/n^2 * 1/h $.
se e solo se x $<=$ -h U x $>=$ h
h costante reale positiva
Vi scrivo la soluzione da me ottenuta.(sbagliata secondo il mio prof di analisi)
studiare la serie :
$\sum_{n=1}^oo 1/n arctg(1/n * 1/x)$
SOLUZIONE DA ME OTTENUTA:
-Convergenza puntuale:
$\lim_{n\to\infty} 1/n arctg(1/n * 1/x) =0 $ ; Converge puntualmente alla funzione identicamente nulla $AA$x $!=$ 0
-Convergenza uniforme:
$|1/n arctg(1/n * 1/x)| = |1/n^2 * 1/x * arctg(1/n * 1/x) *n*x| <= 1/n^2 * 1/|x| <= 1/n^2 * 1/h $.
se e solo se x $<=$ -h U x $>=$ h
h costante reale positiva
Risposte
Io non vedo nulla che non va, poi può darsi che formalmente la dim. non sia corretta.
Il tuo prof ti ha dato spiegazioni ?
Il tuo prof ti ha dato spiegazioni ?
ciao Quinzio .non mi ha dato spiegazioni poichè questo è un esercizio dello scritto che mi chiederà all'orale .sarà li che dovrò illustrargli in maniera corretta la risoluzione..
Umilmente faccio notare che l'oggetto in questione e' una serie non una successione che si risolve passando al limite...
Se il termine della serie converge a 0 per $ nrarr oo $ , questo non implica la convergenza della serie perche' e' una condizione necessaria ma non sufficiente...
Se il termine della serie converge a 0 per $ nrarr oo $ , questo non implica la convergenza della serie perche' e' una condizione necessaria ma non sufficiente...
ciao ostrogoto .è vero che quella è solo 1 condizione necessaria ma nn suff. però ho notato poi che è un infinitesimo del 2 ordine e per il criterio degli infinitesimi ho concluso che fosse convergente...per ogni x diverso da zero
Si' considerando gli infinitesimi, $ 1/n*arctan(1/(n*x)) ~ 1/(n^2*x) $ per $ n rarr oo $ , con $ x!= 0 $ quindi la serie converge puntualmente pero' non alla funzione nulla! Ragionando a spanne se consideri per esempio che per x>0 tutti i termini della serie sono positivi, la somma puntuale della serie sara' un numero maggiore di 0...(la somma di numeri positivi sara' un numero positivo).
Poi una nota: $ 1/n*arctan (1/(nx)) rarr +- pi /2 $ per $ xrarr 0^+- $ quindi non e' che si puo' definire il termine generale pari 0 per x=0?
grazie ostrogoto .ho compreso l'errore che ho commesso. ho fatto un pò di confusione .grazie ancora e buona giornata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo