Serie di funzioni

[LucaSanta93]

Buongiorno a tutti; come sempre vuoi che io parto prevenuto, vuoi che il professore non è un gran che, ma comunque ho un problema cronico con le serie; l'esercizio di per sè non dovrebbe neanche essere troppo complicato, ma io mi perdo puntualmente.
Mi si chiede di discutere convergenza puntuale, uniforme e totale della seguente serie di funzioni
$\sum_{n=0}^\infty\(x)^n(log(1+|x|/n))$
Ora per l'insieme di convergenza puntuale vado a calcolare
$\lim_{n \to \infty}f_n(x)$ che è $0$ quando $-1 Dopodichè mi hanno sempre consigliato di verificare prima la convergenza totale, perchè nel caso in cui converga totalmente allora convergerà anche uniformemente, e allora devo studiare la serie dei sup con x nell'insieme di convergenza puntuale. Ecco qui mi blocco e non so come calcolare il sup di quella successione di funzioni...
Spero disperatamente in un vostro aiuto perché ne ho davvero bisogno!
Grazie mille
Luca

[ciampax]

C'è qualcosa che non va: stai ragionando sulla "successione delle funzioni", non sulla serie. Quello che devi verificare è se la serie converga, non se la successione lo faccia. Tu hai solo dimostrato (ma attenta perché hai commesso un piccolo errore) che il termine generale della serie converge a zero quando $x$ si comporta in un certo modo: ma questo non assicura la convergenza delle serie in esame, visto che un noto teorema afferma che "se la serie converge, il termine generale è infinitesimo" ma non è vero il viceversa (controesempio: la serie armonica).

Quindi ripartiamo: per prima cosa, quando quella serie (per valori fissati di $x$) converge?