Serie di funzioni:

[Magister1]

Buongiorno, ho dei dubbi su esercizi sulle serie di funzioni. Come faccio a capire quale metodo usare? ad esempio ho tale serie:$\sum_{k=1}^(+infty) (n^2/(n^4+logn))x^(2n)$ come si imposta tale esercizio? come devo ragionare? grazie mille in anticipo e buon vigilia di inizio anno.

[Zurzaza]

"Magister":Buongiorno, ho dei dubbi su esercizi sulle serie di funzioni. Come faccio a capire quale metodo usare? ad esempio ho tale serie:$\sum_{k=1}^(+infty) (n^2/(n^4+logn))x^(2n)$ come si imposta tale esercizio? come devo ragionare? grazie mille in anticipo e buon vigilia di inizio anno.

Ciao. Non hai specificato qual'è la consegna dell'esercizio.
Se devi trovarne il raggio di convergenza puoi utilizzare il criterio di Cauchy-Hadamard (dato che è una serie di potenze).

[Magister1]

Si giusto, Comunque la consegna è 1)Determinare insieme di convergenza e studiarne la convergenza uniforme...

[asker993]

$∑ ((n^2)/(n^4 +logn))(x^(2n))$

io studierei la serie in 2 pezzi:
(1) La serie geometrica $(x^(2n))$ converge per $|x|<1 ->1/(1-x)$
diverge a $+∞$ se $x>=1$ ed è irregolare se $x<=-1$ ma nel nostro caso specifico abbiamo un esponente sempre pari e allora possiamo dire semplicemente che diverge anche per $x<=-1$.

(2)Questa serie asintoticamente è equivalente a $(n^2)/(n^4) ->1/n^2 ->$convergente dato che $alfa >1$

concludo dicendo che la serie (1)+(2) converge se e solo se $ |x|<=1 $ in tutti gli altri casi diverge...