Serie di funzioni

[cmarghec-votailprof]

Ho un problema con questo esercizio di una prova d'esame del mio professore:
Verificare che la serie $\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x^(1/n))$
È totalmente convergente in $[0,1]$

[Noisemaker]

ma quella non è una serie di potenze

[cmarghec-votailprof]

Serie di funzioni????

[cmarghec-votailprof]

Non so proprio come procedere!!! Potreste indirizzarmi???

[MasterCud]

devi applicare la definizione di convergenza totale...quindi ti devi mettere nell'estremo superiore dell'intervallo che ti viene dato e poi ti studi la convergenza come se fosse una normale serie di analisi 1..in altri termini dovrai studiare la serie:
$ sum|1*(1-1^(1/n))| $ se converge allora converge totalmente, quindi semplicemente e uniformemente in [0,1].

[gugo82]

"MasterCud":devi applicare la definizione di convergenza totale...quindi ti devi mettere nell'estremo superiore dell'intervallo che ti viene dato

E perché mai dovrebbe mettersi proprio nell'estremo superiore?

[MasterCud]

ti stai riferendo al fatto che non dovrebbe dipendere da x??

[cmarghec-votailprof]

La definizione di convergenza totale che mi dici di usare sarebbe :
La serie $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ converge totalmente se esiste una successione ${M_n}$ tele che $|f_n(x)|\leq M_n$ e tale che $\sum_{n=1}^\infty M_n < \infty$


Quindi se ho capito bene sostituisco l'estremo superiore dell'intervallo, in questo caso $1$ e studio la serie così ottenuta ???

[MasterCud]

la mia docente di analisi, mi insegnò così, poi magari ricordo male io.

[gugo82]

@MasterCud:

"MasterCud":la mia docente di analisi, mi insegnò così, poi magari ricordo male io.

Quando non sei sicuro di qualcosa, sarebbe meglio se te l'andassi a riguardare prima di scrivere sul forum ed incasinare la vita degli altri utenti.

@ megh88: Nel caso in esame, cioè nello studio della convergenza totale di \(\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x^{1/n})\) in \([0,1]\), bisogna procedere usando la definizione di convergenza totale.
Per usare la definizione bisogna:

[list=1][*:22ablffh] determinare, per ogni \(n\), la quantità \(\displaystyle M_n:=\sup_{x\in [0,1]} \big| x^n (1-x^{1/n})\big|\);

[/*:m:22ablffh]
[*:22ablffh] provare che la serie \(\sum_{n=1}^\infty M_n\) è convergente.[/*:m:22ablffh][/list:o:22ablffh]

La soluzione è molto semplice e la spoilerizzo.

[list=1][*:22ablffh] Innanzitutto, osserva che gli addendi sono continui e nonnegativi in \([0,1]\), ergo, per Weierstrass, le funzioni \( |f_n(x)|:=\big| x^n (1-x^{1/n})\big|= x^n (1-x^{1/n})=f_n(x)\) hanno massimo assoluto, il quale coincide con \(M_n\); d'altra parte, è \(f_n(0)=0=f_n(1)\), perciò in \(0\) ed \(1\) esse non possono assumere il valore massimo, il quale va ricercato all'interno dell'intervallo \(]0,1[\); dato che tali funzioni sono derivabili nell'interno dell'intervallo e che:
\[
f_n^\prime(x) = x^{n-1}\ \left( n- \frac{n^2+1}{n}\ x^{1/n}\right)
\]
il massimo è preso necessariamente nell'unico punto in cui la derivata prima si annulla, i.e. in \(x_n:=\left( \frac{n^2}{n^2+1}\right)^n\); da ciò segue:
\[
\begin{split}
M_n&=f_n\left( \left( \frac{n^2}{n^2+1}\right)^n \right) \\
&= \left( \frac{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2}\ \left( 1- \frac{n^2}{n^2+1} \right)\\
&= \frac{1}{n^2+1}\ \left( \frac{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2}\; .
\end{split}
\]

[/*:m:22ablffh]
[*:22ablffh] Per studiare la serie:
\[
\sum_{n=1}^\infty M_n = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1}\ \left( \frac{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2}
\]
basta osservare che:
\[
M_n\leq \frac{1}{n^2+1}\; .
\][/*:m:22ablffh][/list:o:22ablffh]

[cmarghec-votailprof]

Tutto chiaro grazie... L'unico problema che ho è nella conclusione, cioè la convergenza di $M_n$

"gugo82":basta osservare che:
\[
M_n\leq \frac{1}{n^2+1}\; .
\]

Non capisco come fai a dire questo!!! Per il resto tutto chiarissimo grazie mille !!!!!

[gugo82]

Beh, essendo \(\frac{n^2}{n^2+1}<1\) hai pure \(\left( \frac{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2}<1\), quindi...

[cmarghec-votailprof]

Tutto chiarissimo mi potresti solo spiegare meglio il punto $2$ ??? Grazie infinite

[gugo82]

Che cosa è rimasto di poco chiaro?
Dove trovi difficoltà?

[cmarghec-votailprof]

Ho difficoltà a capire come dimostri che la serie $\sum_{n=1}^\infty M_n$ converge .... Scusami ma è un argomento che proprio non riesco a capire

[gugo82]

Beh, il ragionamento è un classico di Analisi I.

Il criterio del confronto lo dovresti conoscere (è Analisi I):

Siano \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\) serie a termini nonnegativi tali che \(a_n\leq b_n\) per ogni indice \(n\) (oppure per ogni indice "sufficientemente grande").

Se \(\sum b_n\) converge, allora anche \(\sum a_n\) converge.
Mentre, se \(\sum a_n\) diverge positivamente, allora pure \(\sum b_n\) diverge positivamente.

Ora, nel tuo caso hai:
\[
\begin{split}
M_n &= \frac{1}{n^2+1}\ \left( \frac{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2} \\
&= \frac{1}{n^2+1}\ \left( \frac{n^2+1-1}{n^2+1}\right)^{n^2}\\
&= \frac{1}{n^2+1}\ \underbrace{ \left( 1-\frac{1}{n^2+1}\right)^{n^2} }_{\leq 1^{n^2}=1}\\
&\leq \frac{1}{n^2+1}\\
&\leq \frac{1}{n^2}
\end{split}
\]
sicché gli addendi della serie \(\sum M_n\) sono maggiorati da quelli della serie \(\sum \frac{1}{n^2}\); ma la serie maggiorante \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge (perché è armonica generalizzata con esponente \(2>1\)), quindi il criterio del confronto (applicato alle serie \(\sum a_n=\sum M_n\) e \(\sum b_n=\sum \frac{1}{n^2}\)) importa che anche \(\sum M_n\) converge.

[cmarghec-votailprof]

Grazie mille .... Infatti in analisi 1 ho sempre evitato di usare questo criterio perché non sapevo applicarlo .... Sei stato gentilissimo grazie!!!!!!