Serie di funzioni
Ho $ sum_(n = \1)^(+oo) (nsqrtn)/(2^n) *(sqrtx+1)^n $ e devo determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza uniforme.
Per prima cosa fisso x e la pongo uguale a 1; calcolo il $ lim_(n ->+oo) (nsqrtn)/2^n 2^n $ che diventa $ lim_(n -> +oo) (nsqrtn)$ che fa $+oo$e quindì non può convergere puntualmente. Un indicazione su come procedere?
EDIT: Fissando x=0 la serie converge perchè $(nsqrtn) (1/2)^n<=(1/2)^n$ che è uguale a zero. Ora studiando la convergenza uniforme sull' intervallo di convergenza, posso conoscere anche quella puntuale, essendo quest'ultima implicata dalla c. uniforme. Quindì $ lim_(n -> oo)su p_(x in0)|(nsqrtn)/(2^n) (sqrtx+1)^n| $ e anche qui mi trovo zero. Qundì asserisco che è convergente uniformemente e quindì puntualmente in 0.
Per prima cosa fisso x e la pongo uguale a 1; calcolo il $ lim_(n ->+oo) (nsqrtn)/2^n 2^n $ che diventa $ lim_(n -> +oo) (nsqrtn)$ che fa $+oo$e quindì non può convergere puntualmente. Un indicazione su come procedere?
EDIT: Fissando x=0 la serie converge perchè $(nsqrtn) (1/2)^n<=(1/2)^n$ che è uguale a zero. Ora studiando la convergenza uniforme sull' intervallo di convergenza, posso conoscere anche quella puntuale, essendo quest'ultima implicata dalla c. uniforme. Quindì $ lim_(n -> oo)su p_(x in0)|(nsqrtn)/(2^n) (sqrtx+1)^n| $ e anche qui mi trovo zero. Qundì asserisco che è convergente uniformemente e quindì puntualmente in 0.
Risposte
Per la convergenza puoi usare il criterio del rapporto, trovi una disequazione facile $(sqrt(x)+1)/2 < 1$.
Nel punto $x=1$ hai gia' visto che non converge, per la convergenza uniforme usa il critero di Weiestrass, da cui si evince che converge uniformemente in ogni intervallo tipo $[0,\alpha], alpha<1$.
Nel punto $x=1$ hai gia' visto che non converge, per la convergenza uniforme usa il critero di Weiestrass, da cui si evince che converge uniformemente in ogni intervallo tipo $[0,\alpha], alpha<1$.
un mio pensiero a riguardo (che può essere sbagliato tanto quanto giusto..)
l'ho riportata sotto forma di serie di potenza:
$y = sqrt(x) + 1$ (1)
credo che andare a tentativi ponendo $x=2$, $x= 0$ etc etc sia intuitivo ma agevoli poco la generalizzazione...
ritornando alla (1):
faccio il $lim_n (n sqrt(n))/(2^n) = 0$
il raggio di convergenza è $\pho = 1/R = +oo$
dunque la serie converge assolutamente per ogni $x \in RR$
vi trovate con me?
l'ho riportata sotto forma di serie di potenza:
$y = sqrt(x) + 1$ (1)
credo che andare a tentativi ponendo $x=2$, $x= 0$ etc etc sia intuitivo ma agevoli poco la generalizzazione...
ritornando alla (1):
faccio il $lim_n (n sqrt(n))/(2^n) = 0$
il raggio di convergenza è $\pho = 1/R = +oo$
dunque la serie converge assolutamente per ogni $x \in RR$
vi trovate con me?
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