Serie di funzioni
ho $\sum_(n=1)^(+oo) (e^(x/n)-1)sin(x/n)$
converge puntualmente in $[0,+oo)$
per la convergenza uniforme è giusto porre : sup$|f_n(x)|<=$sup$|x/n(e^(x/n)-1)|=M_n$
converge puntualmente in $[0,+oo)$
per la convergenza uniforme è giusto porre : sup$|f_n(x)|<=$sup$|x/n(e^(x/n)-1)|=M_n$
Risposte
Secondo me la convergenza puntuale ce l'hai su tutto $RR$: se applichi il criterio del confronto asintotico trovi che
\[(e^{x/n}-1)\sin(x/n)\sim x^2/n^2\]
che è sempre e comunque una serie armonica generalizzata di esponente $2$ e che quindi converge.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, quello che puoi dire è che
$|f_n(x)|\le |e^{x/n}-1|$ per $x\in RR$, per cui calcolerei $M_n$ trovando il massimo della funzione $e^{x/n}-1$.
\[(e^{x/n}-1)\sin(x/n)\sim x^2/n^2\]
che è sempre e comunque una serie armonica generalizzata di esponente $2$ e che quindi converge.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, quello che puoi dire è che
$|f_n(x)|\le |e^{x/n}-1|$ per $x\in RR$, per cui calcolerei $M_n$ trovando il massimo della funzione $e^{x/n}-1$.
la funzione $e^(x/n)-1$ è sempre crescente e quindi illimitata superiormente
non riesco a trovare sottointervalli in cui ho convergenza uniforme.
non riesco a trovare sottointervalli in cui ho convergenza uniforme.
"gbspeedy":
la funzione $e^(x/n)-1$ è sempre crescente e quindi illimitata superiormente
non riesco a trovare sottointervalli in cui ho convergenza uniforme.
Appunto, quindi? Cosa accade se $x\in[a,b]$ qualsiasi? Rifletti su questo.
sup$|f_n(x)|=e^(b/n)-1=M_n$
$sum M_n$ diverge (serie armonica) e quindi non posso avere convergenza uniforme.
$sum M_n$ diverge (serie armonica) e quindi non posso avere convergenza uniforme.
Sì, ok, però detto correttamente hai che $M_n$ è asintotico a $1/n$ e quindi....
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