Serie di funzioni

[asabasa]

Se \( a >0\) sia

\( f_n(x)=n^ax(1-x^2)^n \) , \(x \in\ [0,1] \)

Il libro prosegue:
E' evidente che la successione \({f_n(x)}\) converge puntualmente alla funzione identicamente nulla,
essendo:

\(max_{x \in[0,1]}f_n(x)=\) $n^a/{sqrt({2n+1})}$ $({2n}/{2n+1})^n$

... la mia faccia -->
Come si trova questo massimo?


$lim_{n \to \infty}$\((max_{x \in[0,1]}f_n(x)=0)\) $hArr$ \(a<\)$1/2$

Questo si può verificare usando la la definizione più compatta di convergenza uniforme.

$lim_{n \to \infty}$\((sup_{x \in{I}]}|f_n(x)-f(x)|)=0\)

Qualcuno mi spiega?

[robbstark1]

Per verificare la convergenza puntuale devi fissare un generico $x in [0,1]$, calcolare il limite e vedere che viene $0$.
Infatti, fissato $x$:
$n^a$ tende ad infinito come una potenza di ordine $a$;
$x$ è una costante;
$(1-x^2)^n$ è un'esponenziale di base minore di $1$, quindi tende a $0$ "molto più velocemente di quanto la potenza tenda ad infinito".

La convergenza è uniforme se $lim_{n} s u p|f_n(x) - f(x)| = 0$. In questo caso l'estremo superiore è un massimo, visto che le funzioni della successione (non serie) hanno un dominio compatto, che può trovarsi all'interno o a uno dei due estremi del dominio.
Quindi si cercano innanzitutto gli eventuali punti del dominio a derivata nulla:
$f'_n(x) = n^a (1-x^2)^n + n^a x n (1-x^2)^{n-1} (-2x) = n^a (1-x^2)^{n-1} [1-x^2 - 2nx^2] = 0$
Le soluzioni sono:
$x=1$ accettabile
$x=-1$ non accettabile
$x=1/{sqrt{2n+1}}$ accettabile
Dunque i candidati massimi sono $x=0$, $x=1$ e $x=1/{sqrt{2n+1}}$.
$f_n(0) = f_n(1) = 0$
$f_n(1/{sqrt{2n+1}}) = (n^a)/(sqrt{2n+1}) (1-1/(2n+1))^n = (n^a)/(sqrt{2n+1}) ((2n)/(2n+1))^n$
Per quali valori di $a$ avviene:
$lim_{n} (n^a)/(sqrt{2n+1}) ((2n)/(2n+1))^n =0$?
Per tali valori la convergenza è uniforme.

[asabasa]

Allora mi hai chiarito tutta la parte sulle convergenza uniforme Grazie!

Ma nella convergenza puntuale ho dei dubbi
Quando prendo un punto dell'intervallo è un punto interno, del tipo \(0 Per questo posso dire che quella differenza in parentesi
è una quantità minore di \(1\) e quindi quella quantità va a zero,
e lo fa più velocemente di quando \(n^a\) va all'infinito

Mi sono dimenticata di scrivere anche quest'altro esempio che non mi è chiaro:

Posto $f_n(x)=x^{1/n}$ risulta:

$lim_{n \to \infty}f_n(x)$$={(1,if x in(0,1] ),(0,if x=0):}$

Questi valori dei limiti sono imposti? O sono "calcolati"?
Perchè se sono calcolati non mi trovo,
se $x=0$ e $lim_{n \to \infty}$ $(1/n)$ va a 0, mi trovo $0^0$

Il limite puntuale della successione data non è una funzione continua.
Si osservi inoltre che:
$1= lim_{x->0}( lim_{n \to \infty} f_n(x)) != lim_{n \to \infty} (lim_{x->0} f_n (x)) = 0$

[robbstark1]

"asabasa":
Quando prendo un punto dell'intervallo è un punto interno, del tipo \(0

No, però si possono studiare separatamente i punti interni e gli altri punti. Il ragionamento che ho scritto io, cioè

"asabasa":
che quella differenza in parentesi
è una quantità minore di \(1\) e quindi quella quantità va a zero,
e lo fa più velocemente di quando \(n^a\) va all'infinito

va bene per i punti interni. Devi vedere anche cosa succede per $x=0$ e $x=1$, che è piuttosto banale, ma va fatto.

"asabasa":
Mi sono dimenticata di scrivere anche quest'altro esempio che non mi è chiaro:

Posto $f_n(x)=x^{1/n}$ risulta:

$lim_{n \to \infty}f_n(x)$$={(1,if x in(0,1] ),(0,if x=0):}$

Questi valori dei limiti sono imposti? O sono "calcolati"?
Perchè se sono calcolati non mi trovo,
se $x=0$ e $lim_{n \to \infty}$ $(1/n)$ va a 0, mi trovo $0^0$

Non esistono limiti imposti e limiti calcolati, il limite è uno e basta. Qui il testo dell'esercizio ti dice già il risultato del limite, ma se lo calcoli tu deve ovviamente venirti lo stesso.
Lo $0^0$ che trovi non è una forma inderminata, perchè lo la base è esattamente $0$, l'esponente invece tende a $0$.
Puoi anche pensare a scrivere per esteso la successione se non ti convince: $0^1$, $0^{1/2}$, ..., $0^{1/(100)}$, ...

[asabasa]

Grazie sei stato chiarissimo.

"robbstark":
Non esistono limiti imposti e limiti calcolati, il limite è uno e basta. Qui il testo dell'esercizio ti dice già il risultato del limite, ma se lo calcoli tu deve ovviamente venirti lo stesso.
Lo $0^0$ che trovi non è una forma inderminata, perchè lo la base è esattamente $0$, l'esponente invece tende a $0$.
Puoi anche pensare a scrivere per esteso la successione se non ti convince: $0^1$, $0^{1/2}$, ..., $0^{1/(100)}$, ...

Questa notizia poi mi ha proprio illuminata