Serie di funzione convergenza puntuale e uniforme
mi trovo in difficoltà con queste serie.Ho già studiato i vari teoremi e metodi per la convergenza ma non riesco ancora bene a trovarmi la convergenza di queste serie di funzioni.
ho una serie del genere :
$\sum_{n=0}^oo (2)/(x^2n^2+1)$
adesso nel trovare la convergenza puntuale di solito ho notato che si usa la convergenza assoluta che implica la puntuale.
andando a studiare però l'assoluta non riesco a trovare un criterio capace di dirmi se la serie converge o diverge rispetto a un valore di x.
per la convergenza uniforme ho notato che di solito si applica il teorema di weierstrass del $sup$.
qualcuno può aiutarmi su come svolgere questi tipi di esercizi?
grazie.
ho una serie del genere :
$\sum_{n=0}^oo (2)/(x^2n^2+1)$
adesso nel trovare la convergenza puntuale di solito ho notato che si usa la convergenza assoluta che implica la puntuale.
andando a studiare però l'assoluta non riesco a trovare un criterio capace di dirmi se la serie converge o diverge rispetto a un valore di x.
per la convergenza uniforme ho notato che di solito si applica il teorema di weierstrass del $sup$.
qualcuno può aiutarmi su come svolgere questi tipi di esercizi?
grazie.
Risposte
La convergenza assoluta, in questo caso, equivale alla convergenza puntuale (o semplice).
Inizia col domandarti: che accade per [tex]$x\in\{-1;0;1\}$[/tex]?
Inizia col domandarti: che accade per [tex]$x\in\{-1;0;1\}$[/tex]?
in questo caso la serie se non sbaglio converge.Ma come hai ricavato questi intervalli??
Io non riesco a capire il ragionamento perchè andando a studiare la convergenza assoluta devo studiare la serie dei valori assoluti.Successivamente applico i criteri di convergenza(radice,confronto,rapporto ecc ecc) al variare del parametro x.Da lì mi trovo l'intervallo in cui la serie converge puntualmente.
cosa sbaglio?
grazieeee
Io non riesco a capire il ragionamento perchè andando a studiare la convergenza assoluta devo studiare la serie dei valori assoluti.Successivamente applico i criteri di convergenza(radice,confronto,rapporto ecc ecc) al variare del parametro x.Da lì mi trovo l'intervallo in cui la serie converge puntualmente.
cosa sbaglio?
grazieeee
Ma quale intervallo??? 
Io ho scritto [tex]$x\in\{-1;0;1\}$[/tex], per non scrivere: "prova a studiare la serie per [tex]$x=-1$[/tex], [tex]$x=0$[/tex] e [tex]$x=1$[/tex]". -_-
Io ho scritto [tex]$x\in\{-1;0;1\}$[/tex], per non scrivere: "prova a studiare la serie per [tex]$x=-1$[/tex], [tex]$x=0$[/tex] e [tex]$x=1$[/tex]". -_-
e si scusa ho sbagliato a esprimermi 
ho visto che per quei valori dovrebbe convergere sempre se non ho sbagliato.Adesso?
ho visto che per quei valori dovrebbe convergere sempre se non ho sbagliato.Adesso?
Per $x=0$ c'è convergenza?!?!
Dai, guarda bene.
Dai, guarda bene.
ops scusa 
avevo solo 'tolto' il termine x.Però a dirti la verità non so dire se conv o meno una serie di un numero. 
avevo solo 'tolto' il termine x.Però a dirti la verità non so dire se conv o meno una serie di un numero.
"TommyR22":
Però a dirti la verità non so dire se conv o meno una serie di un numero.
Prova a calcolare le somme parziali...
"gugo82":
[quote="TommyR22"]Però a dirti la verità non so dire se conv o meno una serie di un numero.
Prova a calcolare le somme parziali...
[/quote]Anche senza guardare le somme parziali, è intuitivo: è chiaro che se sommi $a+a+a+a+...$ all'infinito non può che venire qualcosa di infinito.
Oltretutto, condizione necessaria per la convergenza di una serie $\sum_{n} a_n$ è che $\lim_{n\to \infty} a_n =0$.
Paola
ah vero ho dimenticato parte di analisi sempre se non dico fesserie $s_n$=2 quindi usando il criterio di convergenza, diverge.(giusto vero? )
EDIT: grazie paola, dopo un pò fortunatamente per me ci sono arrivato
adesso tornando all'argomento iniziale e avendo trovato la convergenza in quei punti non capisco come andare avanti.Anche perchè per le serie numeriche si cercava un metodo tra i vari teoremi e stop.Quì invece vedo che oltre a questi metodi bisogna pure fare altri ragionamenti che ancora non ho capito
sempre se non dico fesserie $s_n$=2 quindi usando il criterio di convergenza, diverge.(giusto vero? )EDIT: grazie paola, dopo un pò fortunatamente per me ci sono arrivato
adesso tornando all'argomento iniziale e avendo trovato la convergenza in quei punti non capisco come andare avanti.Anche perchè per le serie numeriche si cercava un metodo tra i vari teoremi e stop.Quì invece vedo che oltre a questi metodi bisogna pure fare altri ragionamenti che ancora non ho capito
Insomma, sia [tex]$x=0$[/tex], ti viene la serie numerica [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}2$[/tex] cioè sommi infinite volte [tex]$2$[/tex] e (secondo te) ottieni sempre [tex]$2$[/tex], oppure, utilizzando la condizione necessaria per la convergenza delle serie numeriche affermi che [tex]$\lim_{n\to+\infty}2=0$[/tex]; dato che il termine generale di tale serie è [tex]$2$[/tex].
ok.
Ma adesso vorrei qualche aiuto per quanto riguarda la convergenza di questa serie.Vorrei capire il ragionamento utilizzato.Fin'ora mi è solo stato detto di controllare la convergenza per quei valori di x (non capendo il perchè di quei valori ben precisi).
grazie..
Ma adesso vorrei qualche aiuto per quanto riguarda la convergenza di questa serie.Vorrei capire il ragionamento utilizzato.Fin'ora mi è solo stato detto di controllare la convergenza per quei valori di x (non capendo il perchè di quei valori ben precisi).
grazie..
Ma hai capito gli errori commessi oppure sei convinto di aver risposto bene al mio suggerimento? 
Ho scelto [tex]$0$[/tex] perché ti viene una serie stupida; ho scelto [tex]$1$[/tex] e [tex]$-1$[/tex] in quanto ti vengono serie note, ma queste sono questioni di occhio.
Ancora, imponendo che deve essere necessario per la convergenza [tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n^2x^2+1}=0$[/tex] hai che tale serie non converge per [tex]$x=0$[/tex].
Notando che la serie [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n^2x^2}$[/tex] converge puntualmente per [tex]$x\neq0$[/tex], per quali [tex]$x$[/tex] risulta [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n^2x^2}\geq\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2}{n^2x^2+1}$[/tex], così da avere la semplice convergenza?
Ho scelto [tex]$0$[/tex] perché ti viene una serie stupida; ho scelto [tex]$1$[/tex] e [tex]$-1$[/tex] in quanto ti vengono serie note, ma queste sono questioni di occhio.
Ancora, imponendo che deve essere necessario per la convergenza [tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n^2x^2+1}=0$[/tex] hai che tale serie non converge per [tex]$x=0$[/tex].
Notando che la serie [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n^2x^2}$[/tex] converge puntualmente per [tex]$x\neq0$[/tex], per quali [tex]$x$[/tex] risulta [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n^2x^2}\geq\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2}{n^2x^2+1}$[/tex], così da avere la semplice convergenza?
no no ho capito che la serie diverge per $x=0$ appunto utilizzando il criterio di convergenza.
alla tua domanda, converge semplicemente per qualunque $x$(ovvimente non per $0$).
in pratica se ho capito bene, per trovarmi la convergenza puntuale,studio la serie al variare del parametro x utilizzando o il criterio di conv assoluta oppure i vari criteri di convergenza.
giusto?
alla tua domanda, converge semplicemente per qualunque $x$(ovvimente non per $0$).
in pratica se ho capito bene, per trovarmi la convergenza puntuale,studio la serie al variare del parametro x utilizzando o il criterio di conv assoluta oppure i vari criteri di convergenza.
giusto?
Ma prima di capire quale\i teorema\i utilizzare, inizia a capire i tuoi errori, anzi, ragiona sul simbolo [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}2$[/tex] che ottieni dal porre [tex]$x=0$[/tex]! Perché diverge, converge od è indeterminata?
A completamento di quanto detto da Armando:
Per capire bene cosa significa $sum_{n=1}^infty 2$ scrivilo così:
$2+2+2+2+...$
E' ciò che si ottiene dopo avere fatto $2+2$ infinite volte. Quindi $s_n$ NON è uguale a $2$, ma a $2n$. Per $n\to infty$ è $+infty$.
Capisci bene queste cose, non cercare di imparare il metodo a macchinetta (come stai facendo), altrimenti sarà tutto inutile. Se fai un compito tutto corretto, ma poi all'orale ti incarti su $sum_{n=1}^infty 2$, un professore di matematica (se è serio) ti fa passare un gran brutto quarto d'ora.
Per capire bene cosa significa $sum_{n=1}^infty 2$ scrivilo così:
$2+2+2+2+...$
E' ciò che si ottiene dopo avere fatto $2+2$ infinite volte. Quindi $s_n$ NON è uguale a $2$, ma a $2n$. Per $n\to infty$ è $+infty$.
Capisci bene queste cose, non cercare di imparare il metodo a macchinetta (come stai facendo), altrimenti sarà tutto inutile. Se fai un compito tutto corretto, ma poi all'orale ti incarti su $sum_{n=1}^infty 2$, un professore di matematica (se è serio) ti fa passare un gran brutto quarto d'ora.
Grazie Giuseppe! 
"TommyR22":
ho una serie del genere :
$\sum_{n=0}^oo (2)/(x^2n^2+1)$
[...] qualcuno può aiutarmi su come svolgere questi tipi di esercizi?
Gli addendi sono definiti, positivi e di classe [tex]$C^\infty$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Fissato [tex]$x\neq 0$[/tex], la serie [tex]\sum \frac{2}{x^2n^2+1}[/tex] è una serie numerica convergente, giacché è asintoticamente equivalente ad una serie armonica generalizzata d'esponente [tex]$2$[/tex]; mentre, per [tex]$x=0$[/tex], la serie diverge positivamente.
Conseguentemente la serie di funzioni assegnata converge puntualmente in [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex].
La convergenza, poi, è anche assoluta (giacché gli addendi sono tutti positivi).
Ogni addendo è funzione strettamente crescente [risp. decrescente] in [tex]$]-\infty ,0]$[/tex] [risp. [tex]$[0,+\infty[$[/tex]], ergo il massimo assoluto [tex]$M_n$[/tex] è preso in [tex]$0$[/tex] e vale [tex]$M_n=2$[/tex].
Conseguentemente si ha [tex]$M_n=\sup_{x\neq 0} \tfrac{2}{x^2n^2+1}$[/tex], quindi il criterio di Weierstrass non fornisce informazioni utili, giacché [tex]\sum M_n[/tex] non è una serie convergente.
In altre parole, la convergenza non è totale in [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex].
D'altra parte, la convergenza non può nemmeno essere uniforme: infatti, fissati due indici [tex]$N
[tex]$\left| \sum_{n=0}^M \frac{2}{x^2n^2+1} - \sum_{n=0}^N \frac{2}{x^2n^2+1}\right|=\left| \sum_{n=N+1}^M \frac{2}{x^2n^2+1}\right|$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=N+1}^M \frac{2}{x^2n^2+1}$[/tex]
quindi:
[tex]$\sup_{x\neq 0} \left| \sum_{n=0}^M \frac{2}{x^2n^2+1} - \sum_{n=0}^N \frac{2}{x^2n^2+1}\right| =2(M-N-1)$[/tex]
e tale valore diverge positivamente all'aumentare di [tex]$M$[/tex]; pertanto il criterio di convergenza uniforme di Cauchy risulta violato.
Visto che i problemi sembrano concentrarsi tutti in [tex]$0$[/tex] (perchè è lì che gli addendi prendono i loro massimi assoluti e proprio tali massimi creano problemi al criterio di Weierstrass), proviamo a vedere se da [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex] escludiamo un intorno di [tex]$0$[/tex].
Fissiamo [tex]$a<0
[tex]$M_n^\prime =\sup_{x\in X_{a,b}} \frac{2}{x^2n^2+1}=\max \left\{ \frac{2}{a^2n^2+1} ,\frac{2}{b^2n^2+1}\right\}$[/tex];
la serie [tex]\sum M_n^\prime[/tex] è, in ogni caso, asintoticamente equivalente ad una serie armonica generalizzata d'esponente [tex]$2$[/tex]*, ergo essa converge: pertanto il criterio di Weierstrass assicura che c'è convergenza totale (e quindi uniforme) in [tex]$X_{a,b}$[/tex].
Sia ora [tex]$X\subseteq \mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex] una parte che si tiene "ben distante" da [tex]$0$[/tex], ossia tale che [tex]$0$[/tex] non sia un punto di accumulazione per [tex]$X$[/tex]; in tal caso, esistono [tex]$a<0
__________
* Questo è pressoché vero, ma si dovrebbe dimostrare decentemente. Tuttavia, se si vuole saltare questo passaggio, si può anche notare che, in ogni caso, la serie [tex]\sum M_n^\prime[/tex] può essere maggiorata con qualcosa del tipo [tex]\sum \frac{C}{n^{3/2}}[/tex] per qualche [tex]$C>0$[/tex].
grazie a tutti.In effetti non avevo notato l'errore nel determinare la somma parziale della serie per x=0.
Gugo grazie adesso mi è tutto un pò più chiaro.Adesso mi esercito un pò e poi posterò qualche altro esercizio svolto da me per vedere gli errori
Gugo grazie adesso mi è tutto un pò più chiaro.Adesso mi esercito un pò e poi posterò qualche altro esercizio svolto da me per vedere gli errori
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