Serie di funzione

[qwerty901]

$sum_{n=3}^\(+infty)\frac{1 + logn}{1-2logn}* (frac{-1}{i + z})^n $

Ho fatto così:

$sum_{n=3}^\(+infty)\frac{1 + logn}{1-2logn}* (frac{-1}{i + z})^n = sum_{n=3}^\(+infty)\frac{1 + logn}{1-2logn}* ((-z-i)^(-1))^n =$
$sum_{n=3}^\(+infty)\frac{1 + logn}{1-2logn}*w^n$

Considerando
$frac{1 + logn}{1-2logn} = a_n$

applico il criterio del rapporto:
$lim_(n->+infty) (frac{1+log(n+1)}{1+logn} * frac{1 - 2logn}{1-2log(n+1)})$

ma a me questo limite viene 1...e non può essere. Qualche suggerimento? Grazie

[gugo82]

Innanzitutto devi prendere il [tex]$|a_n|$[/tex]... Ma poi, perchè mai non potrebbe essere [tex]$1$[/tex]?

[qwerty901]

"gugo82":Innanzitutto devi prendere il [tex]$|a_n|$[/tex]... Ma poi, perchè mai non potrebbe essere [tex]$1$[/tex]?

Ma scusa, il criterio del rapporto o della radice affermano che se il limite fa uno, non si può dire nulla sul carattere della serie. O mi sbaglio?

http://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di_convergenza

[gugo82]

Scusa, ma se studi una serie di potenze, che bisogno hai del criterio del rapporto?

Basta determinare il raggio di convergenza...

[qwerty901]

"gugo82":Scusa, ma se studi una serie di potenze, che bisogno hai del criterio del rapporto?

Basta determinare il raggio di convergenza...

Devo studiare l'assoluta convergenza in z=0...

[gugo82]

Ecco perchè chiediamo di essere specifici quando si propone un problema... Te lo ricordo, perchè pare che ancora non ti sia chiaro dopo circa 500 post.


Ad ogni modo, bene: visto che [tex]$|\tfrac{-1}{\imath}|=|\overline{\imath}|=1$[/tex] e che [tex]$|\tfrac{1+\ln n}{1-2\ln n}|=\tfrac{1+\ln n}{2\ln n-1}$[/tex], si tratta di studiare la serie numerica reale:

[tex]$\sum \frac{1+\ln n}{2\ln n-1}$[/tex],

che mi pare evidentissimo come si comporti.
Non c'è nemmeno bisogno di scomodare i criteri di convergenza... Perchè?

[qwerty901]

"gugo82":Ecco perchè chiediamo di essere specifici quando si propone un problema... Te lo ricordo, perchè pare che ancora non ti sia chiaro dopo circa 500 post.


Ad ogni modo, bene: visto che [tex]$|\tfrac{-1}{\imath}|=|\overline{\imath}|=1$[/tex] e che [tex]$|\tfrac{1+\ln n}{1-2\ln n}|=\tfrac{1+\ln n}{2\ln n-1}$[/tex], si tratta di studiare la serie numerica reale:

[tex]$\sum \frac{1+\ln n}{2\ln n-1}$[/tex],

che mi pare evidentissimo come si comporti.
Non c'è nemmeno bisogno di scomodare i criteri di convergenza... Perchè?

Forse perchè è infinitesima? Cioè se il $2ln(n-1)$ lo trasformo come $ln(n-1)^2$, questo tende a $0$ più velocemente del numeratore?

[gugo82]

Qwerty90, calma e sangue freddo.

Innanzitutto [tex]$2 \ln n -1$[/tex] non è [tex]$2\ln (n-1)$[/tex], ma [tex]$(2\ln n) -1$[/tex] (che poi è il valore assoluto del tuo denominatore originale).

Ma poi è cosa di Analisi I stabilire quanto fa [tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{1+\ln n}{2\ln n -1}$[/tex]... Se proprio non lo vedi subito, prova a fare la sostituzione [tex]$x=\ln n$[/tex].

[qwerty901]

"gugo82":Qwerty90, calma e sangue freddo.

Innanzitutto [tex]$2 \ln n -1$[/tex] non è [tex]$2\ln (n-1)$[/tex], ma [tex]$(2\ln n) -1$[/tex] (che poi è il valore assoluto del tuo denominatore originale).

Ma poi è cosa di Analisi I stabilire quanto fa [tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{1+\ln n}{2\ln n -1}$[/tex]... Se proprio non lo vedi subito, prova a fare la sostituzione [tex]$x=\ln n$[/tex].

Già, sorry

$1/2$ ?

[gugo82]

Eh...

Quindi?

[qwerty901]

"gugo82":Eh...

Quindi?

Converge...

inoltre:

$frac{1}{-z-i} < 1/2$

$z > -2 - i$

o no?

P.s.: per ora ti ringrazio, controllo meglio domani a mente fresca, notte

[gugo82]

"qwerty90":[quote="gugo82"]Eh...

Quindi?

Converge...[/quote]
Ma no!
Se una serie reale positiva ha gli addendi che non sono infinitesimi come cavolo fa a convergere?

Su, che sono le basi di Analisi I...

"qwerty90":inoltre:

$frac{1}{-z-i} < 1/2$

$z > -2 - i$

o no?

Ma anche no.
Se vuoi determinare il cerchio di convergenza devi risolvere la disequazione [tex]$\left| \frac{-1}{z+\imath}\right|

Cita

Segnala

[qwerty901]

"gugo82":
Ma no!
Se una serie reale positiva ha gli addendi che non sono infinitesimi come cavolo fa a convergere?

Su, che sono le basi di Analisi I...

Si ero rimasto al criterio del rapporto...però il fatto che se $sum a_n$ diverge allora $lim_(n->+infty) a_n !=0$ è una condizione necessaria ma non sufficiente.Come faccio a provare che converge? A questa domanda rispondo con uno dei criteri per la convergenza. O no?

"gugo82":
Ma anche no.
Se vuoi determinare il cerchio di convergenza devi risolvere la disequazione [tex]$\left| \frac{-1}{z+\imath}\right|

Ok.
$r = lim_(n->+infty)|frac{a_n}{a_(n+1)}| = 1 $
[tex]$\left| \frac{-1}{z+\imath}\right| <1$[/tex]
[tex]$-1<\frac{-1}{z+\imath}\ <1$[/tex]

Giusto fin qui?

[gugo82]

Scusa qwerty90, ma quanto tempo fa l'hai fatto l'esame di Analisi I?
No, perchè qui mi pare che non ricordi proprio nulla... Dovresti dare una ripassatina almeno alle basi.

Comunque, nel seguito svolgo l'esercizio e ti prego di cercare di capire le motivazioni dei passaggi: cercherò di essere il più chiaro possibile, ma senza alcuno sforzo da parte tua è del tutto inutile.

"qwerty90":$sum_{n=3}^\(+infty)\frac{1 + logn}{1-2logn}* (frac{-1}{i + z})^n $

Vogliamo studiare la serie assegnata; per fare ciò seguiamo lo schema descritto in questi appunti (tenendo presente che sarà necessario riadattare qualcosa, visto che abbiamo a che fare con funzioni a valori nel campo complesso).

Essa è una serie di funzioni nel campo complesso la quale può essere ricondotta da una serie di potenze con un'appropriata sostituzione.
Invero, scelto di porre [tex]\zeta =-\frac{1}{z+\imath}[/tex], la serie assegnata si muta nella serie ausiliaria [tex]\sum \frac{1+\ln n}{1-2\ln n}\ \zeta^n[/tex] la quale è una serie di potenze con centro in [tex]$0$[/tex].
Per noti risultati di teoria, se esiste il limite:

[tex]$\lim_n \left| \frac{\frac{1+\ln n}{1-2\ln n}}{\frac{1+\ln (n+1)}{1-2\ln(n+1)}} \right|$[/tex]

esso fornisce il valore del raggio di convergenza della serie di potenze ausiliaria; abbiamo:

[tex]$\lim_n \left| \frac{\frac{1+\ln n}{1-2\ln n}}{\frac{1+\ln (n+1)}{1-2\ln(n+1)}} \right| =\lim_n \frac{\frac{1+\ln n}{2\ln n -1}}{\frac{1+\ln (n+1)}{2\ln(n+1) -1}} $[/tex]
[tex]$=\lim_n \frac{1+\ln n}{1+\ln (n+1)}\ \frac{2\ln(n+1) -1}{2\ln n -1} $[/tex]
[tex]$=1$[/tex]

ergo il raggio di convergenza è [tex]$r=1$[/tex] e la serie ausiliaria converge totalmente (e quindi uniformemente ed assolutamente) nel cerchio del piano complesso definito dalla limitazione [tex]$|\zeta |<1$[/tex].
Inoltre, è evidente che la serie ausiliaria [tex]\sum \frac{1+\ln n}{1-2\ln n}\ \zeta^n[/tex] non converge in nessun punto del bordo del cerchio di convergenza, ossia in nessun punto della circonferenza [tex]$|\zeta|=1$[/tex], in quanto non è verificata la condizione necessaria alla convergenza delle serie complesse: infatti, scelto [tex]$\zeta$[/tex] tale che [tex]$|\zeta|=1$[/tex], risulta:

[tex]$\lim_n \left| \frac{1+\ln n}{1-2\ln n}\ \zeta^n \right| =\lim_n \frac{1+\ln n}{2\ln n -1} =\frac{1}{2}\neq 0$[/tex].

Pertanto l'insieme di convergenza della serie ausiliaria è il cerchio aperto [tex]$D$[/tex] definito dalla limitazione [tex]$|\zeta|<1$[/tex], la convergenza essendo totale (dunque assoluta ed uniforme) in ogni compatto [tex]$K\subset D$[/tex].

Per stabilire l'insieme di convergenza [tex]$X$[/tex] della serie originaria basta allora imporre che il numero [tex]\zeta =\frac{-1}{z+\imath}[/tex] appartenga a [tex]$D$[/tex], ovvero imporre la condizione [tex]$|\zeta |<1$[/tex]: fatto ciò si trova che la serie originaria converge se e solo se il numero [tex]$z$[/tex] verifica la condizione:

[tex]$\left| \frac{-1}{z+\imath}\right| <1$[/tex],

la quale equivale a [tex]$|z+\imath| >1$[/tex].
Pertanto la serie assegnata converge nell'insieme [tex]$X$[/tex] definito dalla limitazione [tex]$|z+\imath|>1$[/tex]: come si può facilmente vedere tracciando un disegno nel piano di Gauss, tale insieme coincide con la regione esterna alla circonferenza di centro [tex]$-\imath$[/tex] e raggio unitario.
Inoltre la convergenza è totale (quindi assoluta ed uniforme) in qualsiasi insieme [tex]$Y\subset X$[/tex] che non tocchi il bordo di [tex]$X$[/tex]: infatti si può facilmente constatare che se [tex]$Y$[/tex] è un insieme con le proprietà citate, la trasformazione [tex]\zeta =\frac{-1}{z+\imath}[/tex] muta [tex]$Y$[/tex] in un insieme [tex]$T \subset D$[/tex] il quale è contenuto in qualche compatto [tex]$K\subseteq D$[/tex]; dato che la serie ausiliaria converge totalmente sui compatti, essa converge anche totalemnte in [tex]$T$[/tex] e perciò la serie assegnata converge totalmente in [tex]$Y$[/tex].

[qwerty901]

Ok mi è chiaro.
L'esempio che è scritto nel file pdf è molto chiaro.

Concludo segnalando questo link che mi è servito pure...
http://mathworld.wolfram.com/topics/Convergence.html

Saluti

[gugo82]

Occhio, però... Quelle del pdf sono serie reali.

Ricordati che per le serie complesse i moduli non sono valori assoluti e che le disuguaglianze vanno interpretate nella maniera giusta.

[qwerty901]

"gugo82":Occhio, però... Quelle del pdf sono serie reali.

Ricordati che per le serie complesse i moduli non sono valori assoluti e che le disuguaglianze vanno interpretate nella maniera giusta.

Ok, thanks