Serie di funzione

[Jhonny777]

Buona sera, ho un problema con questa serie:
$\sum_{n=0}^infty x^alpha/(1 + x^2)^n$ con $\alpha >0$
Mi viene chiesto di determinare l'insieme di convergenza.
Ho provato cosi
$\x^alpha sum_{n=0}^infty (1/(1 + x^2))^n$
Quindi ho una serie geometrica che soddisfa la condizione di convergenza per ogni x.
Ma nel risultato mi dice che converge per $\alpha>2$ , e non capisco come ottenere questo risultato.
Grazie in anticipo a chi avra voglia di aiutarmi...

[otta96]

Non ha senso la soluzione riportata, è giusta quella che hai postato tu (tranne per il fatto che per $x=0$ quella serie geometrica non è convergente).
Ti consiglio di ricontrollare il testo dell'esercizio.

[pilloeffe]

Ciao Jhonny777,

Per $\alpha > 0 $ si ha:

$ \sum_{n=0}^infty x^alpha/(1 + x^2)^n = {(0 \qquad text{per} \qquad x=0),((x^2 + 1)x^{\alpha - 2} \quad \forall x \in \RR - {0}):}$

[Jhonny777]

Ciao, ma non ho capito il perché hai scritto in questo modo.

[pilloeffe]

Perché in questo modo compare $\alpha - 2 $, per cui se la domanda dell'esercizio fosse, ad esempio, determinare $\alpha $ in modo che la funzione alla quale converge la serie non sia fratta si otterrebbe proprio $\alpha > 2 $: questo però ce lo devi dire tu, io non conosco il testo del tuo esercizio...

[Jhonny777]

L'esercizio mi chiede di trovare l'insieme $\Ealpha$ di convergenza semplice.

[pilloeffe]

Allora opto per un errore di stampa nel risultato riportato dal testo...