Serie di funzione

[vinx77]

Salve, vorrei chiedervi gentilmente dei chiarimenti riguardo lo studio della seguente serie di funzioni:

$ sum_{n=1}^\infty\ frac{log(1+8n^7x)}{3n^2 + 2n} $

L'esercizio chiede di studiare la convergenza puntuale
e la uniforme in [0,M] con M>0 e in [0,+inf]

Per prima cosa ho verificato la condizione necessaria di convergenza: $lim_{n \to \infty} frac{log(1+8n^7x)}{3n^2 + 2n} $ = 0

A questo punto verifico la conv. totale su [0, M]: $ sum_{n=1}^\infty \ $ sup $ \ _{x \in [0,+M)} |frac{log(1+8n^7x)}{3n^2 + 2n}| $ = $ sum_{n=1}^\infty\ frac{log(1+8n^7M)}{3n^2 + 2n} $ $~=$ $ sum_{n=1}^\infty\ frac{log(1+8n^7x)}{3n^2} $ che converge.
Quindi si ha convergenza totale (per cui unifome e puntuale) per ogni x $in$ [0,M]

-Come si procede per l'intervallo [0,+inf] ?
-C'è un modo diverso, magari più corretto, di affrontare lo studio della serie?

Spero possiate aiutarmi. GRAZIE

[giuscri]

"vinx77":A questo punto verifico la conv. totale su \([0, M]\): \( \sum_{n=1}^\infty \sup_{x \in [0,+M]} |\frac{log(1+8n^7x)}{3n^2 + 2n}| = \sum_{n=1}^\infty \frac{log(1+8n^7M)}{3n^2 + 2n} \approx \sum_{n=1}^\infty \frac{log(1+8n^7x)}{3n^2}\) che converge.
Quindi si ha convergenza totale (per cui unifome e puntuale) per ogni \(x \in [0,M]\)

Ok.

-Come si procede per l'intervallo \([0,+\infty]\) ?

Be', potresti mostrare che
\[\sup_{x \in [0,+\infty]} \left| \frac{\log {(1+8n^7 x)}}{3n^2 + 2n} \right| \not\to 0\]
In tal caso ti mancherebbe una condizione necessaria alla convergenza uniforme della serie.

-C'è un modo diverso, magari più corretto, di affrontare lo studio della serie?

Mi sembra che tutto sommato vada bene.

[Quinzio]

"vinx77":Come si procede per l'intervallo [0,+inf] ?

Beh, devi dimostrare la falsità della seguente:

$\forall \epsilon>0,\ \EE n_0: \foralln>=n_0\ \ \"sup"_(x\in[0,+oo))|f_n(x)|<\epsilon$