Serie di Fourier, |x|
ciao a tutti, sono in fase "studio Serie di Fourier".
Ecco che dopo il teorema sulla convergenza puntuale delle S.d.F. trovo 2 esempi; provo a risolverli per conto mio.
In realtà mi fermo al primo:
Sia $f$ la funzione periodica di periodo $2\pi$ ottenuta prolungando per periodicità su $RR$ la funzione $x in [-\pi,\pi]->|x|$
Quindi la funzione è $f(x)=|x|$ (un'onda triangolare mi son detto!).
1° dubbio, perché prolungo la funzione su $RR$?
Bene passo a calcolare i coeff. della serie e dato che la funzione è pari $b_k=0$ , $a_0=\pi$ e sin qui mi pare ok.
Vado a calcolare i coeff. $a_k$ per $k=1,2,...$ :
$a_k=1/\pi \int_(-\pi)^(\pi)|x| cos(kx)dx =...=2/\pi ((cosk\pi -1))/k^2= 2/\pi ((-1)^k -1)/k^2$
sin quì mi pare giusto... ma leggendo la soluzione dal libro trovo:
La serie di Fourier è:
$f = \pi/2 - 4/\pi \sum_{k=0}^oo (cos(2k+1)x)/((2k+1)^2)$
Ora dato che non mi ritengo un genio in analisi i fatti son 2: ho sbagliato da qualche parte (anche se mi sembra tutto corretto) oppure mi sto perdendo qualcosa. Ci ho pensato tutta una sera e non ho capito come posso passare dal mio risultato (ipotizzandolo corretto) a quello del libro (che molto probabilmente lo è!)
Ho pensato che, o non ho nozioni sufficienti per proseguire, o mi sto perdendo in un bicchier d'acqua (c.v.d.).
Se qualcuno può e sa mi potrebbe spiegare?? è abbastanza fastidioso non esserci arrivato da solo, ma lo è ancor di più non sapere
per questo mi rivolgo a voi.
Grazie e buon proseguimento!
Ecco che dopo il teorema sulla convergenza puntuale delle S.d.F. trovo 2 esempi; provo a risolverli per conto mio.
In realtà mi fermo al primo:
Sia $f$ la funzione periodica di periodo $2\pi$ ottenuta prolungando per periodicità su $RR$ la funzione $x in [-\pi,\pi]->|x|$
Quindi la funzione è $f(x)=|x|$ (un'onda triangolare mi son detto!).
1° dubbio, perché prolungo la funzione su $RR$?
Bene passo a calcolare i coeff. della serie e dato che la funzione è pari $b_k=0$ , $a_0=\pi$ e sin qui mi pare ok.
Vado a calcolare i coeff. $a_k$ per $k=1,2,...$ :
$a_k=1/\pi \int_(-\pi)^(\pi)|x| cos(kx)dx =...=2/\pi ((cosk\pi -1))/k^2= 2/\pi ((-1)^k -1)/k^2$
sin quì mi pare giusto... ma leggendo la soluzione dal libro trovo:
La serie di Fourier è:
$f = \pi/2 - 4/\pi \sum_{k=0}^oo (cos(2k+1)x)/((2k+1)^2)$
Ora dato che non mi ritengo un genio in analisi i fatti son 2: ho sbagliato da qualche parte (anche se mi sembra tutto corretto) oppure mi sto perdendo qualcosa. Ci ho pensato tutta una sera e non ho capito come posso passare dal mio risultato (ipotizzandolo corretto) a quello del libro (che molto probabilmente lo è!)
Ho pensato che, o non ho nozioni sufficienti per proseguire, o mi sto perdendo in un bicchier d'acqua (c.v.d.).
Se qualcuno può e sa mi potrebbe spiegare?? è abbastanza fastidioso non esserci arrivato da solo, ma lo è ancor di più non sapere
per questo mi rivolgo a voi.Grazie e buon proseguimento!
Risposte
[tex]a_k=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(kx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(kx)dx=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x\sin(kx)}{k}+\frac{\cos(kx)}{k^2}\right]_{0}^{\pi}=-\frac{2}{\pi}\frac{1-\cos(k\pi)}{k^2}=-\frac{2}{\pi}\frac{1-(-1)^k}{k^2}[/tex]
Quindi
[tex]a_k=\begin{cases}
-\frac{4}{\pi k^2} & \text{ se } k \text{ è dispari} \\
0 & \text{ se } k \text{ è pari}
\end{cases}[/tex]
Altro modo per tenere conto solo dei dispari è porre [tex]k=2k+1[/tex] con il nuovo [tex]k[/tex] che parte da [tex]1[/tex] anziché da [tex]0[/tex].
Quindi
[tex]a_k=\begin{cases}
-\frac{4}{\pi k^2} & \text{ se } k \text{ è dispari} \\
0 & \text{ se } k \text{ è pari}
\end{cases}[/tex]
Altro modo per tenere conto solo dei dispari è porre [tex]k=2k+1[/tex] con il nuovo [tex]k[/tex] che parte da [tex]1[/tex] anziché da [tex]0[/tex].
OK! Grazie mille K.Lomax! non avevo capito la logica che ci stava dietro. Ora ragionandoci 2 secondi ho capito come mai compare il $- 4/\pi$ e i termini $(cos(2k+1)x)/((2k+1)^2)$.
Davvero grazie per la disponibilità!
Inoltre mi chiedevo perché nel testo c'è "...prolungando per periodicità su $RR$... cioè quale ragione sta dietro? quando e perché dovrei farlo?
Grazie ancora a Lomax!
Davvero grazie per la disponibilità!
Inoltre mi chiedevo perché nel testo c'è "...prolungando per periodicità su $RR$... cioè quale ragione sta dietro? quando e perché dovrei farlo?
Grazie ancora a Lomax!
Per essere più chiari, supponiamo che la sostituzione sia [tex]k'=2k+1[/tex]. Prima la sommatoria partiva da [tex]1[/tex], ma se ora [tex]k[/tex] partisse da [tex]1[/tex] il nuovo indice [tex]k'[/tex] partirebbe da [tex]3[/tex] (e non da [tex]1[/tex], come dovrebbe essere). Per far partire [tex]k'[/tex] da [tex]1[/tex] ora [tex]k[/tex] deve partire da [tex]0[/tex]. In pratica, il [tex]k[/tex] "nuovo" che intendevo prima è [tex]k'[/tex]. Non so se sono stato chiaro, comunque è un semplice spostamento di indice tale da considerare solo quelli dispari (si poteva sostituire anche [tex]k'=2k-1[/tex] con [tex]k[/tex] che parte da [tex]1[/tex])
Per la seconda domanda, ti chiedo se magari prima la funzione [tex]|x|[/tex] era limitata in un intervallo inferiore a [tex]2\pi[/tex]. Allora, in tal caso, ha senso il prolungamento nell'intervallo [tex][-\pi,\pi][/tex].
Per la seconda domanda, ti chiedo se magari prima la funzione [tex]|x|[/tex] era limitata in un intervallo inferiore a [tex]2\pi[/tex]. Allora, in tal caso, ha senso il prolungamento nell'intervallo [tex][-\pi,\pi][/tex].
Eheh, I love Al Pacino (anche se nel film Kevin Lomax è Keanu Reeves 
)
)
oook! avevo già visto questi cambi di indice ed ora ho capito cos'è successo
mmm:
ecco il testo dell'esercizio:
"Sia $f$ la funzione periodica di periodo $2\pi$ ottenuta prolungando per periodicità su $RR$ la funzione $x in [-\pi,\pi]->|x|$ "
L'esercizio potrei riscriverlo in questo modo:
data una funzione $x in [-\pi,\pi]->|x| $ -> cioè una funzione: $g(x)=|x|$ definita nell'intervallo $[-\pi,\pi]$
Da questa definiamo una nuova funzione $f$ che abbia un periodo $T=2\pi$ e questo è possibile se prolunghiamo la periodicità di $g(x)$ su tutto $RR$. trovare lo sviluppo in serie di $f$.
Quindi in realtà, in questo esercizio, io parto con una funzione $f$ con dominio $D={RR}$ (già bella e pronta) di cui devo trovarne la trasformata... e (se ho interpretato bene) sin qui ci sono.
Le mie domande/pensieri sono 2 (forse 3):
1)non si poteva trovare la serie di Fourier di $g(x)$ perché per l'intervallo $[-\pi,\pi]$ non c'è periodicità, o meglio la funzione non è periodica per quell'intervallo?!!!
2) e se invece prolungo per periodicità non su tutto $RR$ ma solo su $[-2\pi,2\pi]$ ? posso in questo caso trovarne la S.d.F.? (dal grafico mi pare di si)
3) se dovessi scegliere io il dominio della nuova $f$, per poter trovare la sua S.d.F., devo fare delle scelte particolari? e queste scelte (particolari o meno) influenzano lo sviluppo in serie?
grazie
[xdom="gugo82"]@ebol: Avatar più piccolo (cfr. regolamento, 2.3) please.[/xdom]
Per la seconda domanda, ti chiedo se magari prima...
mmm:
ecco il testo dell'esercizio:
"Sia $f$ la funzione periodica di periodo $2\pi$ ottenuta prolungando per periodicità su $RR$ la funzione $x in [-\pi,\pi]->|x|$ "
L'esercizio potrei riscriverlo in questo modo:
data una funzione $x in [-\pi,\pi]->|x| $ -> cioè una funzione: $g(x)=|x|$ definita nell'intervallo $[-\pi,\pi]$
Da questa definiamo una nuova funzione $f$ che abbia un periodo $T=2\pi$ e questo è possibile se prolunghiamo la periodicità di $g(x)$ su tutto $RR$. trovare lo sviluppo in serie di $f$.
Quindi in realtà, in questo esercizio, io parto con una funzione $f$ con dominio $D={RR}$ (già bella e pronta) di cui devo trovarne la trasformata... e (se ho interpretato bene) sin qui ci sono.
Le mie domande/pensieri sono 2 (forse 3):
1)non si poteva trovare la serie di Fourier di $g(x)$ perché per l'intervallo $[-\pi,\pi]$ non c'è periodicità, o meglio la funzione non è periodica per quell'intervallo?!!!
2) e se invece prolungo per periodicità non su tutto $RR$ ma solo su $[-2\pi,2\pi]$ ? posso in questo caso trovarne la S.d.F.? (dal grafico mi pare di si)
3) se dovessi scegliere io il dominio della nuova $f$, per poter trovare la sua S.d.F., devo fare delle scelte particolari? e queste scelte (particolari o meno) influenzano lo sviluppo in serie?
grazie
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@ebol: avatar più piccolo (cfr. regolamento, 2.3) please.
fatto! questo credo vada bene.
Per prolungamento periodico si intende la replicazione su tutto [tex]R[/tex] della funzione [tex]f(x)[/tex] (nel tuo caso [tex]|x|[/tex]) considerata in un intervallo pari a [tex]2\pi[/tex] ovvero tra [tex][-\pi,\pi][/tex]. Per replicazione intendo la seguente sommatoria:
[tex]f_{2\pi}(x)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x-2\pi n)[/tex]
Altrimenti non sarebbe periodica e non potrebbe essere sviluppata.
Per il terzo punto, puoi risponderti da solo. Dal momento che una funzione periodica di generico periodo è sviluppabile in serie di Fourier, puoi calcolarti i coefficienti fissato un valore del periodo, ad esempio [tex]T[/tex], e capire se lo sviluppo dipende da questo.
[tex]f_{2\pi}(x)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x-2\pi n)[/tex]
Altrimenti non sarebbe periodica e non potrebbe essere sviluppata.
Per il terzo punto, puoi risponderti da solo. Dal momento che una funzione periodica di generico periodo è sviluppabile in serie di Fourier, puoi calcolarti i coefficienti fissato un valore del periodo, ad esempio [tex]T[/tex], e capire se lo sviluppo dipende da questo.
ok, riguardo al 3° punto farò così e lo scoprirò 
mentre i punti 1 e 2 derivano da una considerazione più semplice: mi chiedevo infatti, "la funzione $sin (x)$ è periodica di periodo $2\pi$ per $x in RR$ ma rimane sempre periodica di periodo $2\pi$ all'interno di un intervallo limitato!"
(ad esempio $x in [-100\pi , 100\pi]$) ed è per questo che ho fatto le domande 1) 2).
deduco che per essere sviluppata devo "sempre" avere un aperiodicità su tutto $RR$ e ciò lo ottengo grazie al prolungamento periodico.
Grazie Lomax! non conoscevo la sommatoria per la replicazione su $RR$, anche se ne avevo afferrato la logica, ora posso dire di avere le idee un po' più chiare.
mentre i punti 1 e 2 derivano da una considerazione più semplice: mi chiedevo infatti, "la funzione $sin (x)$ è periodica di periodo $2\pi$ per $x in RR$ ma rimane sempre periodica di periodo $2\pi$ all'interno di un intervallo limitato!"
(ad esempio $x in [-100\pi , 100\pi]$) ed è per questo che ho fatto le domande 1) 2).
Altrimenti non sarebbe periodica e non potrebbe essere sviluppata.
deduco che per essere sviluppata devo "sempre" avere un aperiodicità su tutto $RR$ e ciò lo ottengo grazie al prolungamento periodico.
Grazie Lomax! non conoscevo la sommatoria per la replicazione su $RR$, anche se ne avevo afferrato la logica, ora posso dire di avere le idee un po' più chiare.
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