Serie di fourier strana
Ciao, sto risolvendo l'equazione di Laplace sul cerchio unitario con condizione al bordo del tipo
$x*y^2$ che messo in coordinate polari è $cos(phi)*sin^2(phi)$
essendo una funzione pari devo solo calcolare i coefficienti $a_n$ della serie di Fourier che compare
nella formula risolutiva di Poisson.
Per $a_0$ non ci sono problemi, $a_0=0$
Il problema è che calcolando $a_n$ come integrale da $0$ a $2pi$ di $cos(phi)*sin^2(phi)*cos(phi*n)$ ottengo:
1) una espressione che ha a numeratore $sin(2*pi*n)$
2) a denominatore $n-1$
ho risolto subito il "problema" 2, perchè ho risvolto i calcoli mettendo $n=1$ prima di integrare e il termine della serie
è giusto (l'ho confrontato con la soluzione che dà il Wolfram)-> $a_1=1/4cos(phi)$
invece non so come risolvere il problema per $n>1$, sembrerebbe quasi che bisogna risolverlo non per $n$, ma per ogni
termine $2,3$... che mi interessa.
Sapete perchè questa funzione si comporta così?
grazie
$x*y^2$ che messo in coordinate polari è $cos(phi)*sin^2(phi)$
essendo una funzione pari devo solo calcolare i coefficienti $a_n$ della serie di Fourier che compare
nella formula risolutiva di Poisson.
Per $a_0$ non ci sono problemi, $a_0=0$
Il problema è che calcolando $a_n$ come integrale da $0$ a $2pi$ di $cos(phi)*sin^2(phi)*cos(phi*n)$ ottengo:
1) una espressione che ha a numeratore $sin(2*pi*n)$
2) a denominatore $n-1$
ho risolto subito il "problema" 2, perchè ho risvolto i calcoli mettendo $n=1$ prima di integrare e il termine della serie
è giusto (l'ho confrontato con la soluzione che dà il Wolfram)-> $a_1=1/4cos(phi)$
invece non so come risolvere il problema per $n>1$, sembrerebbe quasi che bisogna risolverlo non per $n$, ma per ogni
termine $2,3$... che mi interessa.
Sapete perchè questa funzione si comporta così?
grazie
Risposte
E' meglio che impari ad utilizzare correttamente gli strumenti per scrivere le formule.
Io, senza saper né leggere né scrivere, cercherei innanzitutto di semplificare un po' i conti.
Il problema, a quanto capisco, è:
[tex]$\begin{cases} \Delta u(x,y) =0 &\text{, per $x^2+y^2<1$} \\ u(x,y)=x\ y^2 &\text{, per $x^2+y^2=1$}\end{cases}$[/tex].
Visto che sulla forntiera del disco unitario si ha [tex]$y^2=1-x^2$[/tex], il problema si può scrivere:
[tex]$\begin{cases} \Delta u(x,y) =0 &\text{, per $x^2+y^2<1$} \\ u(x,y)=x-x^3 &\text{, per $x^2+y^2=1$}\end{cases}$[/tex]
e, vista la linearità dell'equazione di Laplace, per risolvere il problema basta sommare le soluzioni dei due problemi:
[tex]$\begin{cases} \Delta u_1(x,y) =0 &\text{, per $x^2+y^2<1$} \\ u_1(x,y)=x &\text{, per $x^2+y^2=1$}\end{cases} \quad \text{e} \quad \begin{cases} \Delta u_2(x,y) =0 &\text{, per $x^2+y^2<1$} \\ u_2(x,y)=-x^3 &\text{, per $x^2+y^2=1$}\end{cases}$[/tex].
Il primo problema è immediato: infatti si vede subito che [tex]$u_1(x,y)=x$[/tex] è l'unica soluzione.
Per il secondo bisogna ricorrere alla serie di Fourier, ad esempio. Il dato iniziale [tex]$-x^3$[/tex] si rappresenta come [tex]$-\cos^3 \varphi$[/tex] ed il suo sviluppo in s.d.F. si può ricavare senza conti complicati, ad esempio applicando le formule di Werner della trigonometria elementare (in particolare l'identità [tex]$\cos \alpha\ \cos \beta =\tfrac{1}{2}\ [\cos (\alpha +\beta) +\cos (\alpha -\beta)]$[/tex]): invero si ha:
[tex]$-\cos^3 \varphi =- \cos \varphi\ \ \cos \varphi\ \cos \varphi$[/tex]
[tex]$= -\frac{1}{2}\ \left( \cos 2\varphi +1\right)\ \cos \varphi $[/tex]
[tex]$=-\frac{1}{2}\ \cos 2\varphi\ \cos \varphi -\frac{1}{2}\ \cos \varphi$[/tex]
[tex]$=-\frac{1}{4}\ \cos 3\varphi -\frac{3}{4}\ \cos \varphi$[/tex].
Fatto ciò hai da terminare i conti per trovare [tex]$u_2$[/tex].
La soluzione [tex]$u$[/tex] del problema originario è perciò [tex]$u(x,y)=x+u_2(x,y)$[/tex].
P.S.: @zornale: Ho modificato il tuo post inserendo per bene le formule con MathML (per imparare ad usare questo semplice linguaggio per inserire formule matematiche bastano un clik sul link precedente ed un po' di buona volontà).
Inoltre ho aggiunto una e dove serviva.
Il problema, a quanto capisco, è:
[tex]$\begin{cases} \Delta u(x,y) =0 &\text{, per $x^2+y^2<1$} \\ u(x,y)=x\ y^2 &\text{, per $x^2+y^2=1$}\end{cases}$[/tex].
Visto che sulla forntiera del disco unitario si ha [tex]$y^2=1-x^2$[/tex], il problema si può scrivere:
[tex]$\begin{cases} \Delta u(x,y) =0 &\text{, per $x^2+y^2<1$} \\ u(x,y)=x-x^3 &\text{, per $x^2+y^2=1$}\end{cases}$[/tex]
e, vista la linearità dell'equazione di Laplace, per risolvere il problema basta sommare le soluzioni dei due problemi:
[tex]$\begin{cases} \Delta u_1(x,y) =0 &\text{, per $x^2+y^2<1$} \\ u_1(x,y)=x &\text{, per $x^2+y^2=1$}\end{cases} \quad \text{e} \quad \begin{cases} \Delta u_2(x,y) =0 &\text{, per $x^2+y^2<1$} \\ u_2(x,y)=-x^3 &\text{, per $x^2+y^2=1$}\end{cases}$[/tex].
Il primo problema è immediato: infatti si vede subito che [tex]$u_1(x,y)=x$[/tex] è l'unica soluzione.
Per il secondo bisogna ricorrere alla serie di Fourier, ad esempio. Il dato iniziale [tex]$-x^3$[/tex] si rappresenta come [tex]$-\cos^3 \varphi$[/tex] ed il suo sviluppo in s.d.F. si può ricavare senza conti complicati, ad esempio applicando le formule di Werner della trigonometria elementare (in particolare l'identità [tex]$\cos \alpha\ \cos \beta =\tfrac{1}{2}\ [\cos (\alpha +\beta) +\cos (\alpha -\beta)]$[/tex]): invero si ha:
[tex]$-\cos^3 \varphi =- \cos \varphi\ \ \cos \varphi\ \cos \varphi$[/tex]
[tex]$= -\frac{1}{2}\ \left( \cos 2\varphi +1\right)\ \cos \varphi $[/tex]
[tex]$=-\frac{1}{2}\ \cos 2\varphi\ \cos \varphi -\frac{1}{2}\ \cos \varphi$[/tex]
[tex]$=-\frac{1}{4}\ \cos 3\varphi -\frac{3}{4}\ \cos \varphi$[/tex].
Fatto ciò hai da terminare i conti per trovare [tex]$u_2$[/tex].
La soluzione [tex]$u$[/tex] del problema originario è perciò [tex]$u(x,y)=x+u_2(x,y)$[/tex].
P.S.: @zornale: Ho modificato il tuo post inserendo per bene le formule con MathML (per imparare ad usare questo semplice linguaggio per inserire formule matematiche bastano un clik sul link precedente ed un po' di buona volontà).
Inoltre ho aggiunto una e dove serviva.
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