Serie Di Fourier - Richiesta Correzione
Mi potreste controllare lo svolgimento di questa serie di Fourier? xkè ho sempre incontrato intervalli di definizione tra [$-pi , pi$] per cui mi lascia un po' interdetto....
$f(x)\{(x epsilon [0 ; 1]), (2-x epsilon[1 ; 2]):}$
la funzione direi che è dispari. per cui ho proceduto direttamente di bk come:
$b_k = 1/2 [ \int_{0}^{1} x*sin(k*x) dx + \int_{1}^{2} (2-x)*sin(k*x) dx]$
è giusto così?
svolgendo i conti mi verrebbe che:
$b_k = 1/2 [ (-cos(k*x)*x/k)|_{0}^{1} + (sin(k*x)/k^2)|_{0}^{1} - (2*cos(k*x)/k)|_{1}^{2} + (cos(k*x)*x/k)|_{1}^{2} - (sin(k*x)/k^2)|_{1}^{2} ]$
(non fate caso alle parentesi graffe che nn ho capito xkè vengono alternate...pur avendo fatto un semplice copia e incolla dalla prima...)
il risultato finale mi viene:
$b_k = sink/k^2 - sin(2*k)/(2*k^2) $
potete darmi conferma?
Grazie
$f(x)\{(x epsilon [0 ; 1]), (2-x epsilon[1 ; 2]):}$
la funzione direi che è dispari. per cui ho proceduto direttamente di bk come:
$b_k = 1/2 [ \int_{0}^{1} x*sin(k*x) dx + \int_{1}^{2} (2-x)*sin(k*x) dx]$
è giusto così?
svolgendo i conti mi verrebbe che:
$b_k = 1/2 [ (-cos(k*x)*x/k)|_{0}^{1} + (sin(k*x)/k^2)|_{0}^{1} - (2*cos(k*x)/k)|_{1}^{2} + (cos(k*x)*x/k)|_{1}^{2} - (sin(k*x)/k^2)|_{1}^{2} ]$
(non fate caso alle parentesi graffe che nn ho capito xkè vengono alternate...pur avendo fatto un semplice copia e incolla dalla prima...)
il risultato finale mi viene:
$b_k = sink/k^2 - sin(2*k)/(2*k^2) $
potete darmi conferma?
Grazie
Risposte
Sei sicuro che l'estesa per periodicità a tutto $\RR$ sia dispari?
mmm xkè nn dovrebbe essere dispari?x non è una funzione dispari?
allora sono andato a rivedere un pochino meglio le definizioni di pari e dispari di una funzione e direi che il primo errore che ho commesso è che questa non è nè pari e nè dispari.
il secondo errore (ma qui vorrei conferma) è che ho sbagliato ad usare la formula in quanto nell'applicare il seno e il coseno non ho tenuto conto del loro intervallo di definizione....per cui secondo me avrei dovuto scrivere:
$b_k = 1/2 [ \int_{0}^{1} x*sin(k*x*pi/2) dx + \int_{1}^{2} (2-x)*sin(k*x*pi/2) dx]$
mi dai conferma?
grazie
il secondo errore (ma qui vorrei conferma) è che ho sbagliato ad usare la formula in quanto nell'applicare il seno e il coseno non ho tenuto conto del loro intervallo di definizione....per cui secondo me avrei dovuto scrivere:
$b_k = 1/2 [ \int_{0}^{1} x*sin(k*x*pi/2) dx + \int_{1}^{2} (2-x)*sin(k*x*pi/2) dx]$
mi dai conferma?
grazie
Disegna la funzione estesa...
"Camillo":
Disegna la funzione estesa...
dovrebbe venire un triangolino giusto?
cmq per quanto riguarda le considerazioni che ho fatto sull'integrale mi date conferma che ho ragionato bene?
Sì, la periodicità è $2$, non $2\pi$ per cui va usata la formula "generalizzata" per i coefficienti di Fourier. Il consiglio di Camillo era rivolto alla comprensione della parità o disparità della funzione...
ok mi fa piacere di averci preso con l'integrale....per quanto riguarda la partità/disparità ho ancora qualche perplessità...nn dovrei fare
$f(x)=f(-x)$ per la funzione pari
$f(-x)= -f(x)$ per la funzione dispari
che applicate al caso in esame mi porterebbero provando con la funzione pari a :
$x=-x$
$2-x=2+x$
per cui non mi sembra esser pari. Mentre nel caso della funzione dispari:
$-x=-x$
$2+x=-2+x$
e quindi direi che non è nemmeno dispari. giusto?
$f(x)=f(-x)$ per la funzione pari
$f(-x)= -f(x)$ per la funzione dispari
che applicate al caso in esame mi porterebbero provando con la funzione pari a :
$x=-x$
$2-x=2+x$
per cui non mi sembra esser pari. Mentre nel caso della funzione dispari:
$-x=-x$
$2+x=-2+x$
e quindi direi che non è nemmeno dispari. giusto?
Devi prolungarla per periodicità a tutto $\RR$ se non ha nessun senso nemmeno chiedersi se è pari o dispari.
"Luca.Lussardi":eh no allora nn riesco a capire come si fa
Devi prolungarla per periodicità a tutto $\RR$ se non ha nessun senso nemmeno chiedersi se è pari o dispari.
Non penso sia un grosso problema disegnare il prolungamento a tutto $\RR$... se stai studiando le serie di Fourier è la prima cosa che si fa.
mmm la prof al corso per verificare la parità/disparità ha usato quelle formule di cui sopra...per cui nn so...
poi la funzione è definita tra 0 e 2 perchè dovrei plottarla su tutto R?
non puoi farmi vedere come si fa?così capisco di cosa stai parlando?perchè non riesco a seguirti
grazie
poi la funzione è definita tra 0 e 2 perchè dovrei plottarla su tutto R?
non puoi farmi vedere come si fa?così capisco di cosa stai parlando?perchè non riesco a seguirti
grazie
Non ha nessun senso dire se una funzione è pari o dispari se essa non è definita su un intervallo simmetrico rispetto all'origine: la definizione vuole $f(-x)=f(x)$ nel primo caso e $f(-x)=-f(-x)$ nel secondo caso, per cui vedi che è necessario che per ogni $x$ nel dominio di $f$ anche $-x$ stia nel dominio di $f$. In ogni caso per quanto riguarda le serie di Fourier la prima cosa da fare prima di trovare lo sviluppo è estendere la funzione per periodicità a tutto $\RR$, cioè nel tuo caso esplicito la funzione è definita solo in $[0,2]$, e la devi estendere per periodicità a tutto $\RR$ con periodo $2$: fai un disegno e vedi subito che funzione trovi, se pari o dispari o nessuno dei due.
mmm ma io l'ho plottata la funzione è come ho scritto in un precedente post mi viene un triangolo compreso tra 0 e 2 (come definito nell'intervallo).... quello che nn capisco è come fare a vedere se è pari o dispari (o nessuno delle due) semplicemente spalmandola sull'intero $R$.
purtroppo ti potrò sembrare cocciuto ma sono anni che nn prendo matematica in mano e ho dimenticato tutto e nn riesco a seguirti. saresti così gentile da mostrarmi con un esempio pratico quello che stai cercando di spiegarmi?te ne sarei davvero grato.
Grazie
purtroppo ti potrò sembrare cocciuto ma sono anni che nn prendo matematica in mano e ho dimenticato tutto e nn riesco a seguirti. saresti così gentile da mostrarmi con un esempio pratico quello che stai cercando di spiegarmi?te ne sarei davvero grato.
Grazie
Il prolungamento per periodicità non è un modo per vedere se una funzione è pari o dispari. La funzione che tu hai è definita solo in $[0,2]$ e non ha nessun senso chiedersi se è pari o dispari. Ha senso chiedersi se la sua prolungata per periodicità a tutto $\RR$ è pari o dispari. Voglio sperare che tu sia in grado di disegnare il prolungamento per periodicità della funzione data, altrimenti ti consiglio di rivedere dal principio tutta la teoria.
nn so farlo mi dispiace o comunque come ti ho scritto su continuo a non capire cosa devo fare.
in nessun esercizio svolto in classe si parla di prolungamento di periodicità per cui non arrivo a capire di cosa stiamo parlando.
in nessun esercizio svolto in classe si parla di prolungamento di periodicità per cui non arrivo a capire di cosa stiamo parlando.
La prima cosa che si fa quando si studiano le serie di Fourier è quello di dire che si considera una funzione periodica. La tua funzione è periodica? No, e per questo va estesa per periodicità a tutto $\RR$, non posso credere che tu non sappia cosa vuol dire estendere per periodicità. In ogni caso vai a rivedere sul tuo libro o sui tuoi appunti le prime cose sulle serie di Fourier.
si il libro ed anche gli esercizi svolti in classe parlano di periodicità delle funzioni ma non mi spiegano come si fa ad estenderla nel caso in cui la funzione, come quella in esame, nn sia periodica. potresti linkarmi a qualche riferimento su internet così da farmi un'idea?
allora ho provato a plottare la funzione su tutto R e dal disegno mi risulta che la funzione è pari...però se così fosse nn riesco a spiegarmi perchè mi trovo dei termini $b_k$ diversi da 0. 
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