Serie di Fourier : esercizio "quasi" svolto

[previ91]

Ciao a tutti ,

volevo riproporvi un esercizio già analizzato ; ora però l'ho rifatto , sono andato avanti e ho nuovi dubbi. Ditemi cosa ne pensate :

"Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione $f$ pari, $2pi$-periodica, definita su $[0, pi]$ da :
$1$ se $f in [0,pi/2]$ , $-1$ se $f in [pi/2 , pi]$. Inoltre precisare i punti nei quale converge e la somma della serie."

1) Scrivere la serie di Fourier

Per prima cosa calcolo i coefficienti di Fourier , sapendo che se f pari $\rightarrow$ $b_k =0$.

$a_0 = 1/(2pi) [ int_0^(pi/2) dx -int_(pi/2)^pi dx ] = 0 $

$a_k =1/pi [int_0^(pi/2) coskx dx -int_(pi/2)^pi coskx dx] -> 1/pi [(sinkx)/k]_0^(pi/2) - 1/pi [(sinkx)/k]_(pi/2)^pi ->2/(kpi)sin((kpi)/2) $

Se k è pari $a_k$ vale zero , mentre se k è dispari :
$a_k =2/((2k+1)(pi))sin(((2k+1)pi)/2) ->2/((2k+1)(pi))sin(kpi +pi/2)->2/((2k+1)(pi))cos(kpi)->(2(-1)^k)/((2k+1)(pi)) $.

Quindi la serie di Fourier è : $f(x) =sum_(k=1)^infty (2(-1)^k)/((2k+1)(pi)) cos(2k+1)x$.

2) Somma della serie

Devo applicare l'uguaglianza di Parsival :$ int_0^(2pi) f^2 (x) dx = pi [(a_0)^2 /2 +sum_(k=1)^infty ((a_k)^2 +(b_k)^2) ]$ quindi :

$int_0^(pi/2) (1)^2 dx + int_(pi/2)^pi (-1)^2 dx = 1/pi sum_(k=1)^infty 4/(2k+1)^2 ->(pi/2)+(pi - pi/2)=1/pi sum_(k=1)^infty 4/(2k+1)^2 -> pi=1/pi sum_(k=1)^infty 4/(2k+1)^2 ->$

$(pi^2)/2 =sum_(k=1)^infty 1/(2k+1)^2$.

Non saprei : in caso fosse giusto mi fermo qua ??

3) Convergenza

Questa parte invece non so proprio da dove iniziare perchè questo argomento lo dobbiamo preparare da soli per l'esame. Mi potreste dare una mano per quanto riguarda la convergenza . Cosa devo considerare ??


Grazie mille

[gugo82]

Per quanto riguarda la convergenza, vedi qui.