Serie di Fourier edi funzioni.
Ciao a tutti!
Sto approfondendo l'argomento "serie di Fourier" legato in particolar modo alla musica e alle onde sonore.
In particolare vorrei sapere: se una funzione è discontinua sappiamo che non converge totalmente alla serie di Fourier. Ma cosa succede musicalmente parlando se la funzione dell'onda è discontinua? Pensavo fosse proprio la propiretà che distingue il rumore dal suono. Ma leggendo sul web tale differenza dipende dalla regolarità della funzione.
Spero qualcuno sappia aiutarmi.
Grazie comunque.
Sto approfondendo l'argomento "serie di Fourier" legato in particolar modo alla musica e alle onde sonore.
In particolare vorrei sapere: se una funzione è discontinua sappiamo che non converge totalmente alla serie di Fourier. Ma cosa succede musicalmente parlando se la funzione dell'onda è discontinua? Pensavo fosse proprio la propiretà che distingue il rumore dal suono. Ma leggendo sul web tale differenza dipende dalla regolarità della funzione.
Spero qualcuno sappia aiutarmi.
Grazie comunque.
Risposte
"aph":
Ciao a tutti!
Sto approfondendo l'argomento "serie di Fourier" legato in particolar modo alla musica e alle onde sonore.
In particolare vorrei sapere: se una funzione è discontinua sappiamo che non converge totalmente alla serie di Fourier. Ma cosa succede musicalmente parlando se la funzione dell'onda è discontinua? Pensavo fosse proprio la propiretà che distingue il rumore dal suono.
Non credo c'entri nulla. Una funzione discontinua non è che una idealizzazione di una vera onda sonora, comoda magari per descrivere un picco di pressione particolarmente accentuato, ma la discontinuità non ha un particolare significato fisico.
No, il discorso "rumore - suono" è molto interessante e non passa da questo. Non è che l'onda acustica col grafico più gradevole ha anche un suono più gradevole. Leggevo su Feynman (Lectures on Physics, vol. 1, capitolo "Harmonics") che apparentemente un suono è percepito come armonioso quando ha molto marcata l'armonica fondamentale e molto smorzate le secondarie (però le secondarie devono esserci, altrimenti percepiamo un suono piatto e fastidioso). C'è poi tutta una trattazione sui rapporti di intensità tra le armoniche di cui però non ti so dire nulla. Invece il rumore è un suono con molte armoniche secondarie di alta intensità.
Questo è tutto detto molto grossolanamente. Non escludo anche di avere sparato qualche cavolata! Per maggiori informazioni prova a consultare Benson, Music. A mathematical offering - lo trovi qui:
http://www.abdn.ac.uk/~mth192/html/maths-music.html
oppure il già citato Feynman.
[OT, terminologico]
Casomai è il contrario... La serie di Fourier non converge totalmente verso la funzione (per essere precisi, in corrispondenza dei punti di discontinuità della somma si osserva il cosiddetto fenomeno di Gibbs).
[/OT]
"aph":
se una funzione è discontinua sappiamo che non converge totalmente alla serie di Fourier.
Casomai è il contrario... La serie di Fourier non converge totalmente verso la funzione (per essere precisi, in corrispondenza dei punti di discontinuità della somma si osserva il cosiddetto fenomeno di Gibbs).
[/OT]
"gugo82":
[OT, terminologico]
[quote="aph"]se una funzione è discontinua sappiamo che non converge totalmente alla serie di Fourier.
Casomai è il contrario... La serie di Fourier non converge totalmente verso la funzione (per essere precisi, in corrispondenza dei punti di discontinuità della somma si osserva il cosiddetto fenomeno di Gibbs).
[/OT][/quote]
gugo, la serie di Fourier di una funzione converge totalmente alla sua funzione se quest'ultima è regolare a tratti e condinua su tutto R.
Mentre se è discontinua in alcuni punti, converge alla media tra limite destro e limite sinistro di tali punti di discontinuità.
Quali sono secondo te i collegamenti di queste proprietà con le proprietà sonore?
"dissonance":[...][/quote]
[quote="aph"]Ciao a tutti!
Sto approfondendo l'argomento "serie di Fourier" legato in particolar modo alla musica e alle onde sonore.
In particolare vorrei sapere: se una funzione è discontinua sappiamo che non converge totalmente alla serie di Fourier. Ma cosa succede musicalmente parlando se la funzione dell'onda è discontinua? Pensavo fosse proprio la propiretà che distingue il rumore dal suono.
sono certa che centra con la musica.. la teoria di Fourier viene utilizzata per capire quali sono i suoni armonici di una nota
[xdom="dissonance"]Ho editato il messaggio, c'era un pasticcio con i "quote" e non si capiva niente.[/xdom]
Ma certo che l'analisi di Fourier c'entra con la musica, sarei un deficiente a sostenere il contrario!!! 
Non mi mettere in bocca cose che non ho detto. Riassumo il mio intervento precedente: secondo me la distinzione tra "rumore" e "suono" non è nella discontinuità dell'onda sonora, ma nella sua struttura armonica.
Non mi mettere in bocca cose che non ho detto. Riassumo il mio intervento precedente: secondo me la distinzione tra "rumore" e "suono" non è nella discontinuità dell'onda sonora, ma nella sua struttura armonica.
"dissonance":
Ma certo che l'analisi di Fourier c'entra con la musica, sarei un deficiente a sostenere il contrario!!!
scusami, non volevo creare problemi.. soltanto avevo interpretato male il tuo "non credo centri molto".
grazie comunque.
Pensando un'attimo a questo concetto musicale, mi è venuta in mente qualche cosa.
Anche se non so che le ripercussioni può avere il fenomeno di Gibbs ,sonoricamente parlando, forse può essere utile tener presente qualche nozione sullo spettro dei segnali, per cercare di supporre come le discontinuità si ripercuotono sul suono.
Tieni presente come premessa che un suono impulsivo come un battito di mani, teoricamente parlando possiede lo spettro come funzione continua, ovvero possiede tutte le armoniche.
Mi viene in mente che la funzione "dente di sega", che ha un feroce discontinuità a salto , è l'onda (funzione come segnale) che possiede più armonici in assoluto nella suo spettro di fourier, rispetto alle altre come triangolare o sinusoide (che in qualche modo sicuramente si collegata a Gibbs). Questa discontinuità che si traduce in un picco impulsivo, la rende carica di rumorose armoniche che rendono il suono meno godibile, perché come diceva dissonance, non è molto apprezzato dal nostro orecchio (che gradisce suoni con poche armoniche in rapporto razionale fra loro).
Interessante al proposito è un teorema di analisi di Fourier che dice, tanto più una funzione è regolare tanto il suo spettro decade velocemente a zero, per cui è più privo di armonici nella distribuzione spettrale
(pensa ad una sinusoide che ha un solo armonico).
L'argomento mi interessa molto per cui, se qualcuno vuole aggiungere qualcosa sarebbe bello.
Ciao!
Anche se non so che le ripercussioni può avere il fenomeno di Gibbs ,sonoricamente parlando, forse può essere utile tener presente qualche nozione sullo spettro dei segnali, per cercare di supporre come le discontinuità si ripercuotono sul suono.
Tieni presente come premessa che un suono impulsivo come un battito di mani, teoricamente parlando possiede lo spettro come funzione continua, ovvero possiede tutte le armoniche.
Mi viene in mente che la funzione "dente di sega", che ha un feroce discontinuità a salto , è l'onda (funzione come segnale) che possiede più armonici in assoluto nella suo spettro di fourier, rispetto alle altre come triangolare o sinusoide (che in qualche modo sicuramente si collegata a Gibbs). Questa discontinuità che si traduce in un picco impulsivo, la rende carica di rumorose armoniche che rendono il suono meno godibile, perché come diceva dissonance, non è molto apprezzato dal nostro orecchio (che gradisce suoni con poche armoniche in rapporto razionale fra loro).
Interessante al proposito è un teorema di analisi di Fourier che dice, tanto più una funzione è regolare tanto il suo spettro decade velocemente a zero, per cui è più privo di armonici nella distribuzione spettrale
(pensa ad una sinusoide che ha un solo armonico).
L'argomento mi interessa molto per cui, se qualcuno vuole aggiungere qualcosa sarebbe bello.
Ciao!
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