Serie di Fourier ed Identità di Parseval
Esercizio. Sia data, in $[-2,2]$,
\[f(x)=\begin{cases} -x & -2
\[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\]
Svolgimento (con errori).
Ai fini del calcolo di integrali posso identificare $f(x)=|x|$ in $[-2,2]$. Calcolo i coefficienti dello sviluppo
\[\alpha_0=\frac{1}{\sqrt{2\cdot 2}}2 \int_0^2 f(x)dx=2\]
\[\alpha_n=\frac{2}{\sqrt{2}}\int_0^2 f(x)\cos{\frac{n\pi x}{2}}dx= \frac{2}{\sqrt{2}}\left[\frac{2}{n\pi} x\sin{\frac{n\pi x}{2}}\right]_0^2 -\frac{2}{\sqrt{2}} \int_0^2 \frac{2}{n\pi} \sin{\frac{n\pi x}{2}}dx\]
da cui ottengo
\[\alpha_n= \frac{2}{\sqrt{2}} \frac{4}{n^2\pi^2}\left( (-1)^n-1\right)\]
\[\beta_n=0 \text{ perché la funzione integranda è dispari}\]
Ho poi
\[||f(x)||^2=2\int_0^2 x^2 dx=\frac{16}{3}\]
La somma dei moduli quadri dei coefficienti dello sviluppo è
\[\sum_i |a_i|^2 = 4+\sum_{n=1}^{\infty} 2 \left[ \frac{16}{n^4 \pi^4} \left(1+1-2(-1)^n\right) \right]\]
e, con la sostituzione $n=2k+1$ (se $n=1$ allora $k=0$, ed essendo $2k+1$ sempre dispari, $(-1)^{2k+1}=-1$), usando anche l'Identità di Parseval ho
\[\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}=\frac{8\cdot 16}{\pi^4}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4},\]
da cui
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{3\cdot 32}\]
ma estraendo la radice di entrambi i membri non ottengo il risultato corretto.
Dove sbaglio? Grazie a tutti.
\[f(x)=\begin{cases} -x & -2
\[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\]
Svolgimento (con errori).
Ai fini del calcolo di integrali posso identificare $f(x)=|x|$ in $[-2,2]$. Calcolo i coefficienti dello sviluppo
\[\alpha_0=\frac{1}{\sqrt{2\cdot 2}}2 \int_0^2 f(x)dx=2\]
\[\alpha_n=\frac{2}{\sqrt{2}}\int_0^2 f(x)\cos{\frac{n\pi x}{2}}dx= \frac{2}{\sqrt{2}}\left[\frac{2}{n\pi} x\sin{\frac{n\pi x}{2}}\right]_0^2 -\frac{2}{\sqrt{2}} \int_0^2 \frac{2}{n\pi} \sin{\frac{n\pi x}{2}}dx\]
da cui ottengo
\[\alpha_n= \frac{2}{\sqrt{2}} \frac{4}{n^2\pi^2}\left( (-1)^n-1\right)\]
\[\beta_n=0 \text{ perché la funzione integranda è dispari}\]
Ho poi
\[||f(x)||^2=2\int_0^2 x^2 dx=\frac{16}{3}\]
La somma dei moduli quadri dei coefficienti dello sviluppo è
\[\sum_i |a_i|^2 = 4+\sum_{n=1}^{\infty} 2 \left[ \frac{16}{n^4 \pi^4} \left(1+1-2(-1)^n\right) \right]\]
e, con la sostituzione $n=2k+1$ (se $n=1$ allora $k=0$, ed essendo $2k+1$ sempre dispari, $(-1)^{2k+1}=-1$), usando anche l'Identità di Parseval ho
\[\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}=\frac{8\cdot 16}{\pi^4}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4},\]
da cui
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{3\cdot 32}\]
ma estraendo la radice di entrambi i membri non ottengo il risultato corretto.
Dove sbaglio? Grazie a tutti.
Risposte
Non devi usare Parseval: per dimostrare quella cosa basta lo sviluppo di Fourier che hai trovato.
"ciampax":
Non devi usare Parseval: per dimostrare quella cosa basta lo sviluppo di Fourier che hai trovato.
Hai ragione, adesso mi torna! Grazie mille.
EDIT. Comunque dovrebbe tornare anche con Parseval, quindi comunque un errore c'è... Quale è?
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