Serie di Fourier ed Identità di Parseval
Ho la funzione $f(x)=|x|$ e mi si chiede di trovare la sua serie di Fourier in $[-\pi,\pi]$ usando il set trigonometrico.
Se non ho sbagliato i conti, questa è
\[f(x)=\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\pi n^2} (\cos{n\pi}-1)\cos{n\pi x}.\]
Adesso mi chiede di verificare, usando l'Uguaglianza di Parseval, questa uguaglianza
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^4}=\frac{1}{6} \left( \frac{\pi}{2}\right)^4.\]
Ma non ho la più pallida idea di come fare!
Se ho ben capito, l'Identità di Parseval dovrebbe dirmi che
\[||f(x)||^2=\int_{-\pi}^{\pi} |x|^2 dx = \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^2=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{\pi n^2} (\cos{n\pi}-1)\right)^2\]
in quanto gli $a_n$ sono i coefficienti dell'espansione in serie di Fourier.
Così facendo, però, arrivo ad una espressione che non ci somiglia nemmeno un po'...
Se non ho sbagliato i conti, questa è
\[f(x)=\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\pi n^2} (\cos{n\pi}-1)\cos{n\pi x}.\]
Adesso mi chiede di verificare, usando l'Uguaglianza di Parseval, questa uguaglianza
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^4}=\frac{1}{6} \left( \frac{\pi}{2}\right)^4.\]
Ma non ho la più pallida idea di come fare!
Se ho ben capito, l'Identità di Parseval dovrebbe dirmi che
\[||f(x)||^2=\int_{-\pi}^{\pi} |x|^2 dx = \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^2=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{\pi n^2} (\cos{n\pi}-1)\right)^2\]
in quanto gli $a_n$ sono i coefficienti dell'espansione in serie di Fourier.
Così facendo, però, arrivo ad una espressione che non ci somiglia nemmeno un po'...
Risposte
"giuliofis":
Se non ho sbagliato i conti, questa è
\[f(x)=\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\pi n^2} (\cos{n\pi}-1)\cos{n\pi x}.\]
Bhe questa funzione converge a $-pi/2$ per $x=0$, dunque non può essere la serie di Fourier della funzione $|x|$ per il Teorema sulla convergenza puntuale di serie di Fourier di funzioni $C^1$ a tratti... Controlla un attimo i dati.
Comunque la serie si può scrivere meglio: visto che $\cos(n\pi)=(-1)^n$ si ha per il generico coefficiente $a_n$
$a_{2k+1}=0,\qquad a_{2k}=4/{4\pi k^2}=1/{\pi k^2}$
per cui la serie diventa
$f(x)=1/2+\sum_{k=1}^\infty 1/{\pi k^2} \cos(2k\pi x)$
$a_{2k+1}=0,\qquad a_{2k}=4/{4\pi k^2}=1/{\pi k^2}$
per cui la serie diventa
$f(x)=1/2+\sum_{k=1}^\infty 1/{\pi k^2} \cos(2k\pi x)$
Grazie a entrambi, rifarò i conti e vedrò cosa viene!
Il brutto di questo esame (Metodi Matematici della Fisica) è che sono solo conti, su conti, su conti... E se ne sbagli uno, addio!
Il brutto di questo esame (Metodi Matematici della Fisica) è che sono solo conti, su conti, su conti... E se ne sbagli uno, addio!
Un corso di Metodi matematici della Fisica dovrebbe essere più stimolante che non solo conti...
"Camillo":
Un corso di Metodi matematici della Fisica dovrebbe essere più stimolante che non solo conti...
Sì, lo è! Intendevo che, dopo aver studiato, l'esame scritto si riduce a conti!
Il corso di Metodi Matematici è uno di quelli che, per ora, mi è piaciuto di più!
Insomma... Calcola la serie di Fourier, calcola la trasformata qui, l'antitrasformata di là, calcola questo integrale in campo complesso eccetera eccetera... Son praticamente solo integrali da calcolare...
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