Serie di fourier e scelta della base

[ludwigZero]

Buona sera a tutti.
Avrei una domanda.
Quando ci viene data una funzione, e ci si chiede di farne la serie di Fourier in una base trigonometrica, come la scegliamo? Perchè ho notato che non tutte 'fungono' bene.
Ad esempio, ho questa funzione:

$1/sqrt(2) + cos(2 \pi x)$

mi si chiede la serie di Fourier in una base (la devo scegliere io) , Secondo voi va bene questa qui?
$ [1, (e^(i n \pi x))/sqrt(2)] $

o ve ne sono altre 'buone' per quel tipo di funzione (costante + funzione coseno...) ?

[dissonance]

Ma che calcoli vuoi fare? E' chiaro che solo due coefficienti non si annullano, dai. Hai solo un termine costante e una armonica fondamentale. Non devi calcolare neanche mezzo integrale qua

[ludwigZero]

Quindi..
$g(x) = 1/2 sqrt(2/L) + 1/2 sqrt(2/L) cos (\pi/L x)$
$x \in (0, L)$

$g(x) = a_0 + a_1 cos ( \pi/L x) $

dunque secondo la base ${1/sqrt(L),sqrt(2/L) cos (n/L \pi x), sqrt(2/L) sin (n/L \pi x) }$
si ha:
$a_o = sqrt(2)/2$

$ a_1 = 1/2$

sarebbe finito qui?

[dissonance]

SI (a parte il fatto che $a_0=1/2$ mi pare)

[ludwigZero]

$a_0 1/sqrt(L) = 1/2 sqrt(2/L) $

a me viene $a_0 = sqrt(2)/2 $

[dissonance]

Si si è giusto è giusto, mi confondevo io un'altra volta.

Ok. L'esercizio è finito qui. Era una banalità. Tutta la filosofia delle serie di Fourier è quella di scomporre funzioni qualsiasi\(^{[1]}\) in somme di seni e coseni. Se una funzione è già data come somma di seni e coseni non c'è da fare nulla.


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\(^{[1]}\) In realtà i matematici hanno trovato degli esempi di funzioni che non si possono scomporre in serie di Fourier, ma si tratta di esempi patologici, niente di preoccupante.