Serie di fourier e scelta della base

[ludwigZero]

Buona sera a tutti.
Avrei una domanda.
Quando ci viene data una funzione, e ci si chiede di farne la serie di Fourier in una base trigonometrica, come la scegliamo? Perchè ho notato che non tutte 'fungono' bene.
Ad esempio, ho questa funzione:

$1/sqrt(2) + cos(2 \pi x)$

mi si chiede la serie di Fourier in una base (la devo scegliere io) , Secondo voi va bene questa qui?
$ [1, (e^(i n \pi x))/sqrt(2)] $

o ve ne sono altre 'buone' per quel tipo di funzione (costante + funzione coseno...) ?

[dissonance]

E certo, che altra base vuoi scegliere? Per una funzione trigonometrica conviene chiaramente scegliere il sistema trigonometrico. Magari puoi prendere direttamente il sistema reale:
\[
\{1, \sqrt{2}\cos(2\pi n x), \sqrt{2}\sin(2\pi n x)\ :\ x\in[0, 1],\ n=1,2,\ldots\}
\]
cosi` ti risparmi pure la seccatura di convertire gli esponenziali complessi.

[ludwigZero]

Ti trovi che viene:

$c_n = \int_0^1 sqrt(2) (1/sqrt(2) + cos(2 pi x) ) cos( 2 pi n x ) dx = $

$= \int_0^1 cos (2 pi n x ) dx + sqrt(2) \int_0^1 cos (( 2 pi + 2 pi n ) x) + cos ((2 pi - 2 pi n)x) dx $

mi viene un risultato che non so come interpretarlo....sembra sia 0 !

$ (sqrt(2))/(4 \pi) [ ( sin (2 pi(n+1)))/(n+1) +( sin(2 pi(1-n)))/(1-n) ] $

[dissonance]

Guarda, ora vado di fretta e non mi posso fermare a scrivere formule, ma vorrei suggerire che questo esercizio si risolve senza fare neanche un conto se la base è quella che scrivevo nel post precedente. Infatti la funzione è già scomposta in serie di Fourier, devi soltanto ricavare i coefficienti. Non serve calcolare integrali.

[ludwigZero]

infatti...mi vengono conti davvero lunghi
comunque, cioè tu dici avendo :

$ f(x) = 1/sqrt(2) + cos(2 \pi x)$

$ < 1,1/sqrt(2) + cos(2 \pi x) > = c_o $

devo solo 'guardare' alla costante 1/sqrt(2) ?

infatti facendone l'integrale $c_o = 1/sqrt(2)$ fin qui mi trovo.

ma con il $cos ( 2 \pi x)$ come faccio ?

$cos(2 n \pi x) $ è la base.

dovrei imporre qualcosa tipo:
$ cos(2 \pi x) = \alpha cos(2 n \pi x)

$\alpha$ sarebbe il coefficiente da trovare giusto?

?

[dissonance]

Ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua.

"ludwigZero":
$ f(x) = 1/sqrt(2) + cos(2 \pi x)$

Questa è la funzione.
\begin{equation}
\begin{split}
f(x)&=a_0\cdot 1 + a_1 \sqrt{2}\cos(2\pi x)+ a_2\sqrt{2}\cos(2\pi\cdot 2x)+\dots+a_n \sqrt{2}\cos(2\pi nx)+\dots \\
&\dots+ b_1 \sqrt{2}\sin(2\pi x)+ b_2\sqrt{2}\sin(2\pi\cdot 2x)+\dots+b_n \sqrt{2}\sin(2\pi nx)+\dots
\end{split}
\end{equation}
Questo è il generico sviluppo in serie di Fourier rispetto alla base che hai scelto.

Ora io affermo che la funzione che ti è stata assegnata è già decomposta in serie di Fourier. Sai determinare i coefficienti al volo?

P.S.:

dovrei imporre qualcosa tipo:
$ cos(2 \pi x) = \alpha cos(2 n \pi x)

$\alpha$ sarebbe il coefficiente da trovare giusto?

Più o meno è quella l'idea, ma questo esercizio è così facile che conviene saperlo fare a occhio.

[ludwigZero]

$a_0 = 1/sqrt(2)$

$a_1 = 1/sqrt(2)$

?
mentre quelli con il sin si eliminano per la parità della $f(x)$

[dissonance]

"ludwigZero":$a_0 = 1/sqrt(2)$

$a_1 = 1/sqrt(2)$

si

mentre quelli con il sin si eliminano per la parità della $f(x)$

I coefficienti dei seni si annullano, giusto. Se vuoi puoi anche vederla come una questione di parità.

[ludwigZero]

$ g(x) = cos ( \pi x) $ con $x \in (-1/2 , 1/2 ) $
/funzione pari /
mi viene detto di trovare i coefficienti nella base:
$ { 1/sqrt(2) , sin (n \pi x ) , cos (n \pi x) }$

è la base data nel compito, quindi non ho pensato a controllare se fosse ortonormalizzata.

"dissonance": nel caso generale il coefficiente di Fourier è dato da \[a_n= \frac{\langle f, e_n\rangle}{\lVert e_n\rVert^2}.\]

$ e_1 = 1/sqrt(2) $

$ e_2 = sin (n \pi x ) $

$ e_3 = cos (n \pi x) $

dovrei calcolare questa ad esempio:

$(cos ( \pi x) * 1/sqrt(2) /||1/sqrt(2) ||^2 $

[dissonance]

Prima di tutto, quella base è ortonormale? A me non sembra. E' sempre meglio normalizzare la base a prescindere altrimenti ci si incasina facilmente. Per esempio, la formula $a_n=\langle f, e_n\rangle$ vale solo se la base $e_1, e_2, e_3, \ldots, e_n, \ldots $ è ortonormale: nel caso generale il coefficiente di Fourier è dato da \[a_n= \frac{\langle f, e_n\rangle}{\lVert e_n\rVert^2}.\]

[ludwigZero]

$ g(x) = cos ( \pi x) $ con $x \in (-1/2 , 1/2 ) $
/funzione pari /
mi viene detto di trovare i coefficienti nella base:
$ { 1/sqrt(2) , sin (n \pi x ) , cos (n \pi x) }$

è la base data nel compito, quindi non ho pensato a controllare se fosse ortonormalizzata.

"dissonance": nel caso generale il coefficiente di Fourier è dato da \[a_n= \frac{\langle f, e_n\rangle}{\lVert e_n\rVert^2}.\]

$ e_1 = 1/sqrt(2) $

$ e_2 = sin (n \pi x ) $

$ e_3 = cos (n \pi x) $

Ho controllato le norme, e sono tutte e tre unitarie.

Questa è una base in $L(-1,1)$. Ad esempio il primo integrale è:

$ \int_(-1)^(1) [1/sqrt(2)]^2 dx = 1 $

$\int_(-1)^(1) cos(n \pi x) dx = 1/[2 (n \pi)] ( n \pi + n \pi) = 1 $

quindi posso trovare i coefficienti nel modo ''standard'' cioè:

$ \int_(-1/2)^(1/2) 1/sqrt(2) cos ( \pi x) dx = sqrt(2)/(\pi) $

forse poi dovrei scrivere:

$ 1/sqrt(2) a_1 = sqrt(2)/(\pi) $

da cui ottengo il coefficiente $a_1 = 2/\pi$

ti trovi?

[dissonance]

No. Qual è l'intervallo? Prima dici \((-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) e dopo dici \((-1, 1)\). E comunque la norma di \(\cos(n\pi x)\) è
\[
\sqrt{\int_I (\cos(n\pi x ))^2\, dx},
\]
non ti scordare il quadrato

[ludwigZero]

in effetti hai ragione, ma il testo dice:

calcolare i coeff. di Fourier rispetto alla base:

${1/(sqrt(2)), [sin (n \pi x), cos (n \pi x)]_(n=1)^(+oo)}$

di questa funzione:

$cos(\pi x) $ con $x \in (-1/2, 1/2)$
$ 0 $ altrove

definita in $L^2 (-1,1)$

quindi per vedere se la base andasse bene ho integrato in $(-1,1)$ ho sbagliato?

[dissonance]

Aaaaaahhhhnnnnn, e allora cambia tutto, cambia. Dillo prima

Questo esercizio non si può fare a occhio. La funzione infatti è
\[
f(x)=\begin{cases}
\cos(\pi x) & x \in \left(\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right) \\
0 & \text{altrove}.
\end{cases}
\]
perciò non è né un seno né un coseno. Ti devi calcolare i coefficienti mediante gli integrali, non c'è altra strada. Aiutati con le simmetrie per dimezzare il lavoro.

Devi anche verificare se la base data è ortonormale o solo ortogonale. Secondo me è ortonormale, ma controlla.

[ludwigZero]

la $f(x) $ è pari.

dunque gli integrali con $sin(n \pi x)$ non li calcolo.

$ a_o = \int_(-1/2)^(1/2) 1/sqrt(2) cos( \pi x ) dx = 1/sqrt(2) [ (sin (\pi x))/(\pi) ]_(-1/2, 1/2) = $

$= 2/sqrt(2) (sin (\pi/2))/(\pi) = (sqrt(2))/(\pi) $

$a_n = \int_(-1/2)^(1/2) cos (n \pi x) cos( \pi x ) dx = $

utilizzo werner e ottengo:

$ = 1/2 \int_(-1/2)^(1/2) { cos [(n \pi + \pi) x] + cos [(n \pi - \pi) x] } dx = $

$ = sin( \pi/2 (n+1) )] 1/(\pi (n+1) ) + sin( \pi/2 (n-1) ) 1/(\pi (n-1) ) = 1/(\pi (n+1)) cos (n (\pi)/2 ) - 1/(\pi (n-1)) cos(n (\pi)/2) $

$= - 2/(\pi (n^2 - 1) ) cos (n (\pi)/2) $

n dispari : $a_n = 0$

n pari: $a_n = - 2/(\pi (n^2 - 1) ) (-1)^(n/2) $


ho un solo dubbio per $ a_0$: dovrebbe venire $2/(\pi)$ (eppure anche wolfram da ragione a me xD )

[dissonance]

E no, lascia stare Wolfram. $a_0$ è sbagliato, c'è un errore concettuale a monte che Wolfram non ti può segnalare.

[ludwigZero]

$a_n = - 2/(\pi (n^2 - 1) ) (-1)^(n/2) $

in $n = 0$

$ a_0 = 2/(\pi) $

ma a partire dell'integrale per $ a_0 $

$ 1/sqrt(2) a_0 = sqrt(2)/\pi$

[ludwigZero]

"dissonance":
Questa è la funzione.
\begin{equation}
\begin{split}
f(x)&=a_0\cdot 1 + a_1 \sqrt{2}\cos(2\pi x)+ a_2\sqrt{2}\cos(2\pi\cdot 2x)+\dots+a_n \sqrt{2}\cos(2\pi nx)+\dots \\
&\dots+ b_1 \sqrt{2}\sin(2\pi x)+ b_2\sqrt{2}\sin(2\pi\cdot 2x)+\dots+b_n \sqrt{2}\sin(2\pi nx)+\dots
\end{split}
\end{equation}
.

un piccolo dubbio (sull'esempio di vedere i coefficienti 'a vista')

io conosco $ a_0 $ e $ a_1 $ ma gli $ a_n $ ?

[dissonance]

Ho riletto, mi sa che hai ragione con \(a_0=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\), l'errore concettuale l'ho commesso io. Scusa.

Riguardo i coefficienti a vista. Qui quel metodo non si applica perché in realtà la funzione assegnata non è un coseno. Quindi lascia stare altrimenti facciamo confusione. Se vuoi discutere la questione proponi un altro esempio con una funzione che sia una combinazione lineare di seni e coseni.

[ludwigZero]

"ludwigZero":$a_n = - 2/(\pi (n^2 - 1) ) (-1)^(n/2) $

in $n = 0$

$ a_0 = 2/(\pi) $

ma a partire dell'integrale per $ a_0 $

$ 1/sqrt(2) a_0 = sqrt(2)/\pi$

sono confuso in $n = 0$ (mettendolo in $a_n$ ) non fa $(2/\pi)$ ?

Sì ho un altro esempio:

$g(x) = 1/2 sqrt(2/L) + 1/2 sqrt(2/L) cos (\pi/L x)$
$x \in (0, L)$

Base (scelta da me): ${1/sqrt(L),sqrt(2/L) cos (n/L \pi x), sqrt(2/L) sin (n/L \pi x) }$

$a_o = sqrt(2)/2$

$ a_1 = 1/2$

ma arrivato al calcolo degli $a_n$ una catastrofe.

viene (posso scrivere anche i calcoli )

$a_n = - 2 n/(\pi (n^2 -1) ) sin (n \pi)$
Per n interi -> $a_n = 0$

ed calcolando $\sum_(n=1)^(+oo) (a_n)^2 $ noto con dispiacere che ha un bel problema in $n=1$

[ludwigZero]

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