Serie di Fourier e prodotto interno
dire che il mio prof di algebra lineare spiega da culo è riduttivo...ha cercato di spiegarci come si lega il prodotto interno tra due funzioni con la serie di Fourier e non ne ho capito na mazza:
citando quello che ha detto il tema si presenta nel seguente modo: ogni funzione periodica e continua in un intervallo $[0,2pi]$ può essere espressa come una serie trigonometrica, ad esempio:
$y(x) = a_0+a_1sen(x)+a_2sen(2x)+b_1cos(x)+b_2cos(2x)+....$
definiamo il prodotto interno tra due funzioni $f$ e $g$ in un intervallo $[0,2pi]$ come $\int_{0}^{2pi}f(x)g(x) dx$
a questo punto se prendiamo due funzioni $y$ e $sen(x)$ possiamo calcolarne il prodotto interno a questo modo:
$\int_{0}^{2pi}y sen(x) = a_0 \int_{0}^{2pi} sen(x) dx + a_1\int_{0}^{2pi} (sen(x))^2 dx + b_1 \int_{0}^{2pi} cos(x) sen(x) dx + .... $
qualche anima magnanima potrebbe spiegarmi questo ultimo passaggio?? o magari darmi un link per capire come si leghi il prodotto interno tra funzioni e la serie di Fourier??
grazie a tutti
citando quello che ha detto il tema si presenta nel seguente modo: ogni funzione periodica e continua in un intervallo $[0,2pi]$ può essere espressa come una serie trigonometrica, ad esempio:
$y(x) = a_0+a_1sen(x)+a_2sen(2x)+b_1cos(x)+b_2cos(2x)+....$
definiamo il prodotto interno tra due funzioni $f$ e $g$ in un intervallo $[0,2pi]$ come $\int_{0}^{2pi}f(x)g(x) dx$
a questo punto se prendiamo due funzioni $y$ e $sen(x)$ possiamo calcolarne il prodotto interno a questo modo:
$\int_{0}^{2pi}y sen(x) = a_0 \int_{0}^{2pi} sen(x) dx + a_1\int_{0}^{2pi} (sen(x))^2 dx + b_1 \int_{0}^{2pi} cos(x) sen(x) dx + .... $
qualche anima magnanima potrebbe spiegarmi questo ultimo passaggio?? o magari darmi un link per capire come si leghi il prodotto interno tra funzioni e la serie di Fourier??
grazie a tutti
Risposte
qualche anima magnanima
Hai una fissazione per l'anima... Comunque l'anima del povero Fourier è in agitazione dopo la tua domanda:
$int_0^(2 pi) y sin(x)dx=int_0^(2 pi) (a_0+a_1 sinx+a_2sin(2x)+b_1cosx+b_2cos(2x)+ldots) sinx dx=$ ecc. ecc.
Non perderti d'animo, buono studio.
mamma mia era così evidente.... 
meglio non studiare certe cose dopo essersi fatti estrarre due denti del giudizio
grazie!
meglio non studiare certe cose dopo essersi fatti estrarre due denti del giudizio
grazie!
ora sto facendo un esercizio che mi sembrava evidente ma non riesco a dimostrarlo:
devo fare il prodotto interno tra
dunque trovo che $\int_{-pi}^{pi}x cosx = int_{-pi}^{pi}(a_0+a_1senx+a_2sen(2x)+b_1cosx+...)cosx$
$a_0int_{-pi}^{pi}cosx+a_1int_{-pi}^{pi}senxcosx+a_2int_{-pi}^{pi}sen(2x)cosx+b_1int_{-pi}^{pi}(cosx)^2$
dato che seni e coseni sono mutuamente ortogonali e dato che $a_0int_{-pi}^{pi}cosx = 0$ allora della formula precedente mi rimane soltanto:
$b_1int_{-pi}^{pi}(cosx)^2$
sapendo che $b_1 = (int_{-pi}^{pi}xsenx)/(int_{-pi}^{pi}(senx)^2)=2$
e che $int_{-pi}^{pi}(cosx)^2=pi$
allora il risultato non dovrebbe essere $2pi$ invece di zero? non capisco perchè nei miei calcoli ques'ultimo membro non si annulla...anche alla luce del fatto che se continuo a sviluppare la serie i valori successivi sono sempre nulli...cos'ho toppato?
devo fare il prodotto interno tra
dunque trovo che $\int_{-pi}^{pi}x cosx = int_{-pi}^{pi}(a_0+a_1senx+a_2sen(2x)+b_1cosx+...)cosx$
$a_0int_{-pi}^{pi}cosx+a_1int_{-pi}^{pi}senxcosx+a_2int_{-pi}^{pi}sen(2x)cosx+b_1int_{-pi}^{pi}(cosx)^2$
dato che seni e coseni sono mutuamente ortogonali e dato che $a_0int_{-pi}^{pi}cosx = 0$ allora della formula precedente mi rimane soltanto:
$b_1int_{-pi}^{pi}(cosx)^2$
sapendo che $b_1 = (int_{-pi}^{pi}xsenx)/(int_{-pi}^{pi}(senx)^2)=2$
e che $int_{-pi}^{pi}(cosx)^2=pi$
allora il risultato non dovrebbe essere $2pi$ invece di zero? non capisco perchè nei miei calcoli ques'ultimo membro non si annulla...anche alla luce del fatto che se continuo a sviluppare la serie i valori successivi sono sempre nulli...cos'ho toppato?
Sinceramente non ho capito come hai calcolato $b_1$.
A tal proposito ti ricordo che $f(x)$ è dispari e dunque il suo sviluppo di Fourier non contiene coseni. Da qui discende che $b_1=b_2=ldots=$...?
A tal proposito ti ricordo che $f(x)$ è dispari e dunque il suo sviluppo di Fourier non contiene coseni. Da qui discende che $b_1=b_2=ldots=$...?
è una definizione...probabilmente sto facendo confusione immane, ti faccio vedere il testo dell'esercizio così com'è:
non riesco a farmela entrare in testa sta cosa...
non riesco a farmela entrare in testa sta cosa...
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