Serie di Fourier e pi greco

[Mrhaha]

Ragazzi esiste una serie di Fourier (in genere diqueste serie si riesce a calcolarne la somma) la cui somma vale proprio pi greco?

[Camillo]

$pi $ no però $pi^2$ sì .

Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione $f(x)=x^2 $ in $ [-pi,pi]$ è dato da :

$x^2=pi^2/3+ sum_(h=1)^oo (-1)^h 4/h^2*cos (hx) , AA x in[-pi,pi] $.

Se valuto la serie per $x=0 $ ottengo $ 0= pi^2/3+sum_(h=1)^oo (-1)^h4/h^2$ da cui otteniamo la somma della serie numerica :

$sum_(h=1)^oo (-1)^h *1/h^2= -pi^2/12$.

Se invece sostituiamo $ x=pi$ si ottiene , poichè $cos (hx) =(-1)^h $
$pi^2=pi^2/3+sum_(h=1)^oo 4/h^2 $ da cui
$pi^2/6= sum_(h=1)^oo 1/h^2$.

[Mrhaha]

Grazie Camillo!

[Camillo]

Per completeezza ecco come si arriva allo sviluppo in serie di Fourier della funzione $f(x)=x^2 $ in $[-pi, pi]$.

Lo sviluppo di una generica funzione è ; $f(x)= a_0/2+ sum_(h=1)^oo (a_h cos(hx) +b_h sin(hx)) $
essendo:

$a_h = 1/pi int_(-pi)^pi f(x) cos(hx)dx ; b_h= 1/pi int_(-pi)^pi f(x)sin(hx)dx $.

Se $ f(x) $ è pari come nel caso di $f(x)=x^2$ allora :
$a_h= 2/pi int_0^pi f(x)cos(hx)dx ; b_h =0 $
Quindi nel caso specifico : $ a_h=2/pi int_0^pi x^2cos(hx)dx = $ ( 2 integrazioni per parti )$= 2/pi*(2pi)/h^2cos(hx)=(-1)^h4/h^2$
$a_0/2= 1/pi int_0^pi x^2dx =1/pi*pi^3/3= pi^2/3 $ e in conclusione :

$x^2= pi^2/3 +sum_(h=1)^oo (-1)^h 4/h^2 cos(hx)$ per $x in [-pi,pi]$.

[Mrhaha]

Grazie Camillo!
Ma quanti conti che bisogna fare!