Serie di Fourier e funzioni $C^\infty$
Ciao ragazzi,
Scrivo qua perchè la mia domanda è forse più prettamente matematica che "ingegneristica".
Seguendo il corso di teoria dei segnali e affrontando la parte (già nota per me da analisi 2) di analisi di Fourier mi è sorto questo dubbio.
Il prof ha accennato al fatto che si può dimostrare che i coefficienti $X_k$ della serie (a valori complessi) godono di questa proprietà $|X_k|\propto 1/(k^(n+1))$ dove n è l'ordine della prima derivata "discontinua" .
Mi è però sorto un dubbio: prendendo una funzione periodica $C^\infty$ si avrebbe qualcosa di un po' particolare in quella "proprietà".
Il prof mi ha risposto dicendo che ciò si traduce nell'avere un numero non più infinito ma finito di armoniche (senza darmi nessun "supporto matematico", come da lui stesso ammesso) .
Chi mi sa spiegare cosa succede in questo caso?
P.S. Purtroppo nel mio libro di teoria dei segnali non sono riuscito a trovare nulla riguardo a questa proprietà, quindi sono ben accetti delucidazioni a riguardo
Scrivo qua perchè la mia domanda è forse più prettamente matematica che "ingegneristica".
Seguendo il corso di teoria dei segnali e affrontando la parte (già nota per me da analisi 2) di analisi di Fourier mi è sorto questo dubbio.
Il prof ha accennato al fatto che si può dimostrare che i coefficienti $X_k$ della serie (a valori complessi) godono di questa proprietà $|X_k|\propto 1/(k^(n+1))$ dove n è l'ordine della prima derivata "discontinua" .
Mi è però sorto un dubbio: prendendo una funzione periodica $C^\infty$ si avrebbe qualcosa di un po' particolare in quella "proprietà".
Il prof mi ha risposto dicendo che ciò si traduce nell'avere un numero non più infinito ma finito di armoniche (senza darmi nessun "supporto matematico", come da lui stesso ammesso) .
Chi mi sa spiegare cosa succede in questo caso?
P.S. Purtroppo nel mio libro di teoria dei segnali non sono riuscito a trovare nulla riguardo a questa proprietà, quindi sono ben accetti delucidazioni a riguardo
Risposte
Se una funzione ha un numero finito di armoniche è un polinomio trigonometrico, dunque una funzione di classe $C^\infty$, ma il viceversa non è affatto vero. Considera ad esempio la funzione $f(x)=e^{\cos x}$. Questa è una funzione periodica, pari e di classe $C^\infty$ ($C^\omega$, in realtà). La sua serie di Fourier ha dunque coefficienti non nulli solo relativamente ai coseni, e si ha:
\(\displaystyle f(x) = \frac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} c_n \cos(nx),\qquad c_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{\cos x}\cos(nx)\,\,dx = 2\cdot I_n(1) > 0, \)
dove i valori delle funzioni di Bessel
\(\displaystyle 2\cdot I_n(1) = \sum_{m=0}^{+\infty}\frac{1}{4^m m!(m+n)!} \leq \frac{1}{2^n\cdot n!}\cdot I_0(1)\)
hanno un decadimento molto rapido (più che esponenziale), per cui $e^{\cos x}$ può essere ottimamente approssimata dai polinomi trigonometrici che corrispondono ai troncamenti della sua serie di Fourier. In generale, se $f$ è una funzione periodica e analitica (che è chiedere un po' più che $C^\infty$), i coefficienti della sua serie di Fourier hanno decadimento esponenziale.
\(\displaystyle f(x) = \frac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} c_n \cos(nx),\qquad c_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{\cos x}\cos(nx)\,\,dx = 2\cdot I_n(1) > 0, \)
dove i valori delle funzioni di Bessel
\(\displaystyle 2\cdot I_n(1) = \sum_{m=0}^{+\infty}\frac{1}{4^m m!(m+n)!} \leq \frac{1}{2^n\cdot n!}\cdot I_0(1)\)
hanno un decadimento molto rapido (più che esponenziale), per cui $e^{\cos x}$ può essere ottimamente approssimata dai polinomi trigonometrici che corrispondono ai troncamenti della sua serie di Fourier. In generale, se $f$ è una funzione periodica e analitica (che è chiedere un po' più che $C^\infty$), i coefficienti della sua serie di Fourier hanno decadimento esponenziale.
Ah! Ho capito...infatti quello che non mi tornava era proprio questo: come faceva ad avere finite armoniche pur NON essendo un polinomio trigonometrico.
Ma quindi la "formula di proporzionalità" vale solo nel caso in cui la funzione non sia $C^\infty$?...ero interessato anche a capire se dietro c'era un teorema (comprensibile per un ingegnere
).
E nel caso in cui considerassimo funzioni NON analitiche, a priori non sarebbe applicabile il tuo ragionamento, giusto?
(Ad esempio ripetendo periodicamente $e^(-x^2)$)
Ma quindi la "formula di proporzionalità" vale solo nel caso in cui la funzione non sia $C^\infty$?...ero interessato anche a capire se dietro c'era un teorema (comprensibile per un ingegnere
).E nel caso in cui considerassimo funzioni NON analitiche, a priori non sarebbe applicabile il tuo ragionamento, giusto?
(Ad esempio ripetendo periodicamente $e^(-x^2)$)
Se una funzione è analitica o di classe $C^\infty$ in particolare è di classe $C^k$, per cui la "formula di proporzionalità" resta valida, per ogni $k$, e non c'è niente di strano, in quanto un decadimento esponenziale dei coefficienti della Fourier, in particolare, comporta un decadimento più rapido di quello di $1/n^k$ per ogni $k$.
Il Teorema che c'è dietro è semplicemente l'integrazione per parti. Se, ad esempio, $g$ è di classe $C^k$ e periodica di periodo $2\pi$,
$$ \left|\int_{0}^{2\pi} g(t) e^{nit} dt \right| = \frac{1}{n}\left|\int_{0}^{2\pi} g'(t) e^{nit} dt \right| = \ldots = \frac{1}{n^k}\left|\int_{0}^{2\pi} g^{(k)}(t) e^{nit} dt \right|.$$
Se ci restringiamo all'insieme delle funzioni di classe $C^\infty$ ma non analitiche, abbiamo che i coefficienti della serie di Fourier decadono più rapidamente del reciproco di qualunque polinomio, anche se magari non esponenzialmente.
Nella pratica, tuttavia, dubito ti imbatterai nel problema di dover elaborare un segnale che sia $C^\infty$ ma non $C^\omega$ (analitico). Per quanto riguarda l'ultima cosa che hai scritto, c'è un problema tecnico: puoi certamente "ripetere periodicamente" $e^{-x^2}$ (che di suo è abbondantemente una funzione analitica), ma il segnale così ottenuto non sarà mai di classe $C^1$ nei "punti di incollamento", e nemmeno continuo, se non scegli di ripetere un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
Il Teorema che c'è dietro è semplicemente l'integrazione per parti. Se, ad esempio, $g$ è di classe $C^k$ e periodica di periodo $2\pi$,
$$ \left|\int_{0}^{2\pi} g(t) e^{nit} dt \right| = \frac{1}{n}\left|\int_{0}^{2\pi} g'(t) e^{nit} dt \right| = \ldots = \frac{1}{n^k}\left|\int_{0}^{2\pi} g^{(k)}(t) e^{nit} dt \right|.$$
Se ci restringiamo all'insieme delle funzioni di classe $C^\infty$ ma non analitiche, abbiamo che i coefficienti della serie di Fourier decadono più rapidamente del reciproco di qualunque polinomio, anche se magari non esponenzialmente.
Nella pratica, tuttavia, dubito ti imbatterai nel problema di dover elaborare un segnale che sia $C^\infty$ ma non $C^\omega$ (analitico). Per quanto riguarda l'ultima cosa che hai scritto, c'è un problema tecnico: puoi certamente "ripetere periodicamente" $e^{-x^2}$ (che di suo è abbondantemente una funzione analitica), ma il segnale così ottenuto non sarà mai di classe $C^1$ nei "punti di incollamento", e nemmeno continuo, se non scegli di ripetere un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
"elianto84":
In generale, se $f$ è una funzione periodica e analitica (che è chiedere un po' più che $C^\infty$), i coefficienti della sua serie di Fourier hanno decadimento esponenziale.
Su questo punto avrei un paio di domande.
i) Sai per caso come si può dimostrare? Anche un accenno, o un riferimento bibliografico, è più che altro una mia curiosità.
ii) Vale il viceversa? Nel senso, si può dire che se una funzione periodica ha i coefficienti di Fourier a decadimento più che esponenziale (in qualche senso da precisare), allora essa è analitica?
Ripeto, sono più che altro curiosità, visto che hai tirato fuori l'argomento.
Grazie per la risposta elianto...
Credo di aver capito dove è il problema di quella "formula"
Essendo i segnali "classici" $C^k$ posso applicare l'integrazione per parti fino a quando non arrivo al punto che la funzione $g(t)$ non è più derivabile.
Quello che mi chiedo è se possa avere senso ripetere questo procedimento per le funzioni $C^\infty$...anche perchè mi suona strano una scrittura del tipo $lim_{k->\infty}g^((k))(t)$.
Come dissonance sarei curioso anche io di saperne un po' di più (anche perchè le mie perplessita sono appunto sull'utilizzo di quel procedimento al limite)...
Credo di aver capito dove è il problema di quella "formula"
Essendo i segnali "classici" $C^k$ posso applicare l'integrazione per parti fino a quando non arrivo al punto che la funzione $g(t)$ non è più derivabile.
Quello che mi chiedo è se possa avere senso ripetere questo procedimento per le funzioni $C^\infty$...anche perchè mi suona strano una scrittura del tipo $lim_{k->\infty}g^((k))(t)$.
Come dissonance sarei curioso anche io di saperne un po' di più (anche perchè le mie perplessita sono appunto sull'utilizzo di quel procedimento al limite)...
"dissonance":
[quote="elianto84"]In generale, se $f$ è una funzione periodica e analitica (che è chiedere un po' più che $C^\infty$), i coefficienti della sua serie di Fourier hanno decadimento esponenziale.
Su questo punto avrei un paio di domande.
i) Sai per caso come si può dimostrare? Anche un accenno, o un riferimento bibliografico, è più che altro una mia curiosità.
ii) Vale il viceversa? Nel senso, si può dire che se una funzione periodica ha i coefficienti di Fourier a decadimento più che esponenziale (in qualche senso da precisare), allora essa è analitica?
Ripeto, sono più che altro curiosità, visto che hai tirato fuori l'argomento.[/quote]
Provo a impostare una risposta io, se me lo permetti, più che altro perchè sono fresco di quest'argomento. Più che altro ti fornisco una dimostrazione semi-intuitiva, non di sicuro pienamente rigosora, che non riesco a dare.
Una delle proprietà della F-trasformata è questa:
$\mathcal{F}(x^h\ f(x))(\omega) = k (d^h)/(d\omega^h)\mathcal{F}(f(x))(\omega)$
ovvero derivare h volte la trasformata equivale a trasformare la funzione moltiplicata per un $x^h$.
Allora chiedere che la trasformata sia $C^(oo)$ equivale a chiedere che si possa derivare a piacere e quindi che la funzione si possa moltiplicare per un $x^h$ mantenendo la sua "trasformabilità"... ovvero che $f \in RR^1$, assolutamente sommabile. Per il Lemma di Riemann-Lebesgue si ha che una $f\in RR^1$ soddisfa il imite $lim_(x->\pm oo)f(x)=0$.
Allora si ha che la funzione $f$ moltiplicata per un polinomio di grado qualunque, e dunque grande a piacere, deve comunque annullarsi all'infinito, e quindi deve essere a "decadenza rapida", ovvero un $o(x^h)$, o-piccolo di qualunque potenza di $x$.
Non è quindi esatto dire "più che esponenziale", ma "più che polinomiale".
Vale anche il viceversa nel senso che la trasformata di Fourier è una operazione chiusa rispetto all'insieme $S$ delle funzioni $C^(oo)$ e a decadenza più che polinomiale.
Qualsiasi testo di taglio un po' rigoroso che tratti le trasformate, direi che copre anche queste importanti considerazioni.
Grazie per la risposta Quinzio...Comunque il prossimo anno seguirò metodi e probabilmente la cosa mi risulterà più chiara 
Grazie Quinzio, infatti con il tuo argomento si puo' tranquillamente trattare il caso $C^\infty$. Il remark mio e di Zurzaza riguarda invece il caso $C^\omega$ delle cosiddette "funzioni analitiche"; in questo contesto, una funzione analitica è una funzione $2\pi$-periodica che è il limite uniforme della propria serie di Taylor. Informalmente si potrebbe dire che una funzione analitica è un "polinomio di grado infinito", espressione da prendere con le pinze, naturalmente.
Questo è più restrittivo che essere semplicemente una funzione $C^\infty$; esistono infatti delle funzioni di classe $C^\infty$ che non sono analitiche, perché la loro serie di Taylor o non converge o converge a qualcos'altro che la funzione assegnata.
Ora il punto sollevato da elianto riguarda le funzioni analitiche; egli infatti sostiene che in quest'ultimo caso la convergenza più che polinomiale da te bene illustrata si puo' migliorare ad una convergenza "più che esponenziale". Sia io sia Zurzaza abbiamo richiesto qualche informazione in più.
Questo è più restrittivo che essere semplicemente una funzione $C^\infty$; esistono infatti delle funzioni di classe $C^\infty$ che non sono analitiche, perché la loro serie di Taylor o non converge o converge a qualcos'altro che la funzione assegnata.
Ora il punto sollevato da elianto riguarda le funzioni analitiche; egli infatti sostiene che in quest'ultimo caso la convergenza più che polinomiale da te bene illustrata si puo' migliorare ad una convergenza "più che esponenziale". Sia io sia Zurzaza abbiamo richiesto qualche informazione in più.
"dissonance":
Grazie Quinzio, infatti con il tuo argomento si puo' tranquillamente trattare il caso $C^\infty$. Il remark mio e di Zurzaza riguarda invece il caso $C^\omega$ delle cosiddette "funzioni analitiche"; in questo contesto, una funzione analitica è una funzione $2\pi$-periodica che è il limite uniforme della propria serie di Taylor. Informalmente si potrebbe dire che una funzione analitica è un "polinomio di grado infinito", espressione da prendere con le pinze, naturalmente.
Questo è più restrittivo che essere semplicemente una funzione $C^\infty$; esistono infatti delle funzioni di classe $C^\infty$ che non sono analitiche, perché la loro serie di Taylor o non converge o converge a qualcos'altro che la funzione assegnata.
Ora il punto sollevato da elianto riguarda le funzioni analitiche; egli infatti sostiene che in quest'ultimo caso la convergenza più che polinomiale da te bene illustrata si puo' migliorare ad una convergenza "più che esponenziale". Sia io sia Zurzaza abbiamo richiesto qualche informazione in più.
Giusta osservazione. Il motivo per cui non ho insistito io è che non credo di avere le conoscenze matematiche per capire il problema (che probabilmente acquisirò in un corso l'anno prossimo) o meglio capire la soluzione... in quanto la trasformata di Fourier l'ho vista in ambito "poco rigoroso" del corso di teoria dei segnali.
Facendo il punto se non ho capito male comunque l'idea è questa:
$C^\infty => $ convergenza "più che polinomiale"
$C^\omega => $ convergenza esponenziale
A questo punto attendo (attendiamo
) una risposta...personalmente per curiosità...ecco
Per quanto riguarda la trasformata di Fourier di funzioni analitiche periodiche, potete far riferimento a questo pdf: http://www.math.lsa.umich.edu/~rauch/555/fouriercomplex.pdf. Il decadimento esponenziale è essenzialmente dovuto alla disuguaglianza di Paley-Wiener.
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