Serie di Fourier e di Taylor in campo complesso
Leggevo su Visual Complex Analysis una osservazione simpatica:
se $f(z)=sum_{n=0}^infty a_n z^n$ è una funzione analitica, scrivendo $z$ in forma polare e separando parte reale e parte immaginaria si ottiene
$u(r, theta)+iv(r, theta)=sum_{n=0}^infty "Re"(a_n)r^n cos(n theta) + i sum_{n=1}^infty "Im"(a_n)r^n sin(n theta)$; [size=75][edit]attenzione: questa formula è sbagliata.[/edit][/size]
e quindi, per $r$ fissato e $theta$ variabile o viceversa, uno sviluppo in serie di Fourier o di Taylor reale rispettivamente. L'autore usa questo fatto per stupire con un po' di effetti speciali (tipo la derivata novantottesima di una certa funzione reale complicata), poi annuncia solennemente che "le serie di Taylor e di Fourier sono la stessa cosa in campo complesso" quindi conclude il paragrafo e si mette a parlare d'altro.
Rimango così con la sensazione di non averci capito nulla. Mi indicate del materiale su cui approfondire questo fatto?
se $f(z)=sum_{n=0}^infty a_n z^n$ è una funzione analitica, scrivendo $z$ in forma polare e separando parte reale e parte immaginaria si ottiene
$u(r, theta)+iv(r, theta)=sum_{n=0}^infty "Re"(a_n)r^n cos(n theta) + i sum_{n=1}^infty "Im"(a_n)r^n sin(n theta)$; [size=75][edit]attenzione: questa formula è sbagliata.[/edit][/size]
e quindi, per $r$ fissato e $theta$ variabile o viceversa, uno sviluppo in serie di Fourier o di Taylor reale rispettivamente. L'autore usa questo fatto per stupire con un po' di effetti speciali (tipo la derivata novantottesima di una certa funzione reale complicata), poi annuncia solennemente che "le serie di Taylor e di Fourier sono la stessa cosa in campo complesso" quindi conclude il paragrafo e si mette a parlare d'altro.
Rimango così con la sensazione di non averci capito nulla. Mi indicate del materiale su cui approfondire questo fatto?
Risposte
Mah, ti devo dire, io questa è una cosa che ho sempre dato "per scontato" ma forse perché l'ho sempre usata più "meccanicamente" che non andando a guardare per bene "cosa-chi-perché"! Effettivamente che le due cose (serie di Taylor e serie trigonometrica) coincidano su $z$ mi pare in un certo senso "ovvio" se scrivi la serie di potenze usando la forma esponenziale di $z=\rho e^{i\theta}$ e rifletti sul fatto che anche della serie di Fourier esiste una cosa simile. Comunque, la formula giusta dovrebbe essere
\[ u(\rho,\theta)+iv(\rho,\theta)=\sum_{n=0}^\infty\left[\rho^n\left(\alpha_n\cos(n\theta)-\beta_n\sin(n\theta)\right)+i\left(\alpha_n\sin(n\theta)+i\rho^n \beta_n\cos(n\theta)\right)\right] \]
dove [tex]$a_n=\alpha_n+i\beta_n$[/tex].
\[ u(\rho,\theta)+iv(\rho,\theta)=\sum_{n=0}^\infty\left[\rho^n\left(\alpha_n\cos(n\theta)-\beta_n\sin(n\theta)\right)+i\left(\alpha_n\sin(n\theta)+i\rho^n \beta_n\cos(n\theta)\right)\right] \]
dove [tex]$a_n=\alpha_n+i\beta_n$[/tex].
Mi sa che ti è scappato un $i rho^n$ di troppo nella formula, nella parte immaginaria (certo sempre meglio dell'obbrobrio che ho scritto io! 
). Vediamo se è la volta buona:
[tex]$u(\rho, \theta) + i v(\rho, \theta)=\sum_{n=0}^\infty \rho^n[\alpha_n \cos(n \theta) - \beta_n \sin(n \theta)]+i\sum_{n=0}^\infty \rho^n[\beta_n \cos(n \theta) + \alpha_n \sin(n \theta)][/tex].
Comunque a parte questo la tua risposta è proprio quello che volevo sentire. Quel testo purtroppo è, si, pieno di idee e di immagini interessanti, ma ha questa pretesa di fare ad ogni paragrafo la scoperta del secolo e spesso mi fa confondere. Grazie!
). Vediamo se è la volta buona: [tex]$u(\rho, \theta) + i v(\rho, \theta)=\sum_{n=0}^\infty \rho^n[\alpha_n \cos(n \theta) - \beta_n \sin(n \theta)]+i\sum_{n=0}^\infty \rho^n[\beta_n \cos(n \theta) + \alpha_n \sin(n \theta)][/tex].
Comunque a parte questo la tua risposta è proprio quello che volevo sentire. Quel testo purtroppo è, si, pieno di idee e di immagini interessanti, ma ha questa pretesa di fare ad ogni paragrafo la scoperta del secolo e spesso mi fa confondere. Grazie!
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