Serie di Fourier e convergenza uniforme
Non capisco perchè se $f \in L_{2pi}^1$ e $(\hat {f}(n))_n \in l^1$ allora
$\sum_{k \in ZZ} \hat{f}(k)e^{ikx}$
converge uniformemente a una funzione continua, $g$ e i suoi coefficienti di fourier coincidono con quelli di $f$.
$\sum_{k \in ZZ} \hat{f}(k)e^{ikx}$
converge uniformemente a una funzione continua, $g$ e i suoi coefficienti di fourier coincidono con quelli di $f$.
Risposte
Per un discorso di convergenza totale. La serie di Fourier infatti converge totalmente perché il termine generale è dominato da \(\hat{f}_k\) e tu hai supposto esplicitamente che \(\sum \hat{f}_k\) sia assolutamente convergente (\(\hat{f}_k \in \ell^1\)).
ok, allora non capisco perché converge a una funzione continua (gli \(\hat{f}_k\) mica sono continui) e poi perché i coefficienti di questa funzione coincidono con quelli di $f$
Uehi, attento! 
Gli \(\hat{f}(k)\) sono solo dei numeri, mica delle funzioni. Una serie di Fourier è una serie di funzioni continue: e vorrei vedere, sono esponenziali (oppure seni e coseni, come vuoi).
Riguardo l'altra domanda, prendi
\[g(t)=\sum_{k \in \mathbb{Z}}c_k e^{i k t}, \]
dove \(c_k=\hat{f}_k\). Quindi in particolare la serie è assolutamente e uniformemente convergente e possiamo portarla fuori dal segno di integrale senza impicci. Ora calcoliamo il suo \(n\)-esimo coefficiente di Fourier:
\[2\pi \hat{g}(n)=\int_{-\pi}^{\pi} g(t) e^{-i n t}\, dt= \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k \in\mathbb{Z}}c_k e^{i (k-n) t}\, dt= \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k 2\pi \delta_{k n}=2\pi c_n , \]
perché solo uno di quegli esponenziali sopravvive all'integrazione, ed è quello con \(k=n\). Concludiamo che \(\hat{g}(n)=c_n=\hat{f}(n).\)
Questo qui, tra l'altro, è il ragionamento che fece Fourier in persona quando affermò che "tutte le funzioni sono sviluppabili in serie trigonometriche".
Gli \(\hat{f}(k)\) sono solo dei numeri, mica delle funzioni. Una serie di Fourier è una serie di funzioni continue: e vorrei vedere, sono esponenziali (oppure seni e coseni, come vuoi). Riguardo l'altra domanda, prendi
\[g(t)=\sum_{k \in \mathbb{Z}}c_k e^{i k t}, \]
dove \(c_k=\hat{f}_k\). Quindi in particolare la serie è assolutamente e uniformemente convergente e possiamo portarla fuori dal segno di integrale senza impicci. Ora calcoliamo il suo \(n\)-esimo coefficiente di Fourier:
\[2\pi \hat{g}(n)=\int_{-\pi}^{\pi} g(t) e^{-i n t}\, dt= \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k \in\mathbb{Z}}c_k e^{i (k-n) t}\, dt= \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k 2\pi \delta_{k n}=2\pi c_n , \]
perché solo uno di quegli esponenziali sopravvive all'integrazione, ed è quello con \(k=n\). Concludiamo che \(\hat{g}(n)=c_n=\hat{f}(n).\)
Questo qui, tra l'altro, è il ragionamento che fece Fourier in persona quando affermò che "tutte le funzioni sono sviluppabili in serie trigonometriche".
grazie mille.
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