Serie di Fourier (dubbio su esercizio)

[lucia88]

Ciao a tutti,
in classe abbiamo fatto il seguente esercizio:
$f(x)=\{(-2,x\in[-\pi,-\pi/2)),(-1 , x\in[-\pi/2,\pi/2)),(0,x\in[\pi/2,\pi)):}$
il prof la riscritta come somma di una funzione (sempre periodica) dispari e di una funz costante: $f(x)=g(x)-1$ dove:

$g(x)=\{(-1,x\in[-\pi,-\pi/2)),(0 , x\in[-\pi/2,\pi/2)),(1,x\in[\pi/2,\pi)):}$

Quindi :
(dopo aver fatto considerazioni su i valori assunti quando l'indice è pari\dispari..)
$f(x)~-1 - \sum_{k=1}^(+oo) 2(-1)^k sin[(kx)]/(k\pi) +\sum_{m=1}^(+oo) 2(-1)^m sin(x(2m+1))/(\pi(2m+1)) $

E fin qui ok,
poi non ho capito come ha fatto a dire che la quantità appena scritta è uguale a :

$f(x)~-1 - \sum_{n=0}^(+oo) 2(-1)^k 2sin[(2(2n+1)x)] / ((2n+1)\pi) +\sum_{m=0}^(+oo) 2sin(x(2m+1))/(\pi(2m+1)) $

Voi avete qualche idea?
Grazie mille in anticipo per le eventuali risposte

[Quinzio]

$ f(x)~-1 - \sum_{k=1}^(+oo) 2(-1)^k sin[(kx)]/(k\pi) +\sum_{m=1}^(+oo) 2(-1)^m sin(x(2m+1))/(\pi(2m+1)) $

$ f(x)~-1 - \sum_{n=0}^(+oo) 2(-1)^k 2sin[(2(2n+1)x)] / ((2n+1)\pi) +\sum_{m=0}^(+oo) 2sin(x(2m+1))/(\pi(2m+1)) $

Tante volte fare un breve controllo evita lunghe perdite di tempo.
Le due espressione dovrebbero essere uguali.
Ma se si va a controllare si vede che i termini in $sin(2x)$ già non corrispondono.

Nella prima espressione con $k=2$ si ottiene un $-sin(2x)$ mentre nella seconda con $n=0$ si ottiene (se l'espressione è scritta bene) $4 sin(2x)$.