Serie di Fourier di soli coseni
Ciao a tutti, sto svolgendo questo esercizio ma ho un problema. Il testo è:
"Determinare la serie di Fourier di soli coseni per la funzione periodica (di periodo $2pi$) definita da $f(x)= -x^2+pix$ in $[0, pi]$."
Qui ho un dubbio: la funzione, essendo definita in $[0, pi]$, non ha periodo $pi$? Perché c'è scritto invece che ha periodo $2pi$?
Prolungo la funzione con una riflessione pari ottentendo $\bar f=\{(f(x), text{in}, [0,pi]),(f(-x), text{in}, [-pi,0]):}$
Quindi, quel periodo $2pi$ è riferito a $\bar f$, giusto?
Però, provando a calcolare i coefficienti e confrontandoli con la soluzione, ho notato che il risultato della soluzione differisce dal mio per un fattore moltiplicativo pari a 2. C'è un errore nella soluzione o non mi sto raccapezzando con il periodo?
Qualcuno potrebbe fare luce? Grazie!
"Determinare la serie di Fourier di soli coseni per la funzione periodica (di periodo $2pi$) definita da $f(x)= -x^2+pix$ in $[0, pi]$."
Qui ho un dubbio: la funzione, essendo definita in $[0, pi]$, non ha periodo $pi$? Perché c'è scritto invece che ha periodo $2pi$?
Prolungo la funzione con una riflessione pari ottentendo $\bar f=\{(f(x), text{in}, [0,pi]),(f(-x), text{in}, [-pi,0]):}$
Quindi, quel periodo $2pi$ è riferito a $\bar f$, giusto?
Però, provando a calcolare i coefficienti e confrontandoli con la soluzione, ho notato che il risultato della soluzione differisce dal mio per un fattore moltiplicativo pari a 2. C'è un errore nella soluzione o non mi sto raccapezzando con il periodo?
Qualcuno potrebbe fare luce? Grazie!
Risposte
Sì, il periodo $2\pi$ è da intendersi riferito al prolungamento $2\pi$-periodico di $\bar f$. Per poter dire se i coefficienti sbagliati sono quelli che hai calcolato o quelli dati in soluzione, dovresti riportare gli uni o gli altri 
Per esempio, per calcolare $a_0$, io imposto
$1/(2pi)\int_{-pi}^{pi} \bar f dx = 1/(pi)\int_{0}^{pi} f(x) dx = pi^2/6$,
mentre nella soluzione è riportato
$2/(pi)\int_{0}^{pi} f(x) dx = pi^2/3$
$1/(2pi)\int_{-pi}^{pi} \bar f dx = 1/(pi)\int_{0}^{pi} f(x) dx = pi^2/6$,
mentre nella soluzione è riportato
$2/(pi)\int_{0}^{pi} f(x) dx = pi^2/3$
Se cerchi uno sviluppo di $f$ nella forma $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\cos(nx)$, allora il valore corretto per $a_0$ è $1/\pi\int_0^{\pi}f(x)dx=\pi^2/6$. Se invece devi scrivere lo sviluppo come $f(x)=a_0/2 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos(nx)$ (che è una scrittura più "tradizionale") allora deve essere $a_0=\pi^2/3$.
Al di là di questa possibile ambiguità, in entrambi i casi vale $a_n=2/\pi\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)dx$ per tutti gli $n\geq1$.
Al di là di questa possibile ambiguità, in entrambi i casi vale $a_n=2/\pi\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)dx$ per tutti gli $n\geq1$.
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