Serie di Fourier (con valore assoluto)
Dovrebbe essere un esercizio banale ma ci sto letteralmente impazzendo sopra e non capisco dove sbaglio.
Devo sviluppare in serie trigonometrica di Fourier $f(x)=(|x|-x)/2$ nell'intervallo $[-\pi,\pi]$.
Dunque...
la funzione vale $-x$ in $[-\pi,0]$ e $0$ in $[0,\pi]$
$a_0=1/\pi*int_-\pi^0-xdx=\pi/2$
$a_k=1/\pi*int_-\pi^0-x*coskxdx=-sin(k\pi)/(k\pi)+1/(k\pi)*int_-\pi^0coskxdx=-sin(k\pi)/(k\pi)+sin(k\pi)/(k\pi^2)=0$
$b_k=1/\pi*int_-\pi^0-x*sinkxdx=cos(k\pi)/k-1/(k\pi)*int_-\pi^0coskxdx=cos(k\pi)/k-sin(k\pi)/(k\pi^2)=(-1)^k/k$
A questo punto avrei $f(x)=\pi/4-(sinx/x-sin(2x)/2+sin(3x)/3*+...+(-1)^k*sin(kx)/k*..)$
che però non mi sembra affatto essere la soluzione corretta. Potreste, cortesemente, correggere i miei errori?
Grazie per l'attenzione
Devo sviluppare in serie trigonometrica di Fourier $f(x)=(|x|-x)/2$ nell'intervallo $[-\pi,\pi]$.
Dunque...
la funzione vale $-x$ in $[-\pi,0]$ e $0$ in $[0,\pi]$
$a_0=1/\pi*int_-\pi^0-xdx=\pi/2$
$a_k=1/\pi*int_-\pi^0-x*coskxdx=-sin(k\pi)/(k\pi)+1/(k\pi)*int_-\pi^0coskxdx=-sin(k\pi)/(k\pi)+sin(k\pi)/(k\pi^2)=0$
$b_k=1/\pi*int_-\pi^0-x*sinkxdx=cos(k\pi)/k-1/(k\pi)*int_-\pi^0coskxdx=cos(k\pi)/k-sin(k\pi)/(k\pi^2)=(-1)^k/k$
A questo punto avrei $f(x)=\pi/4-(sinx/x-sin(2x)/2+sin(3x)/3*+...+(-1)^k*sin(kx)/k*..)$
che però non mi sembra affatto essere la soluzione corretta. Potreste, cortesemente, correggere i miei errori?
Grazie per l'attenzione
Risposte
La funzione da sviluppare in serie di Fourier vale :
$x $ nell'intyervallo $-pi, 0 $ ( e non $-x$ ).
$0 $ nell'intervallo $ 0, pi $.
$x $ nell'intyervallo $-pi, 0 $ ( e non $-x$ ).
$0 $ nell'intervallo $ 0, pi $.
Sicuro? Excel mi dice il contrario. 
Non sarebbe $f(x)=(-x-x)/2$ se $x<0$ e $f(x)=(x-x)/2=0$ se $x>0$?
Non sarebbe $f(x)=(-x-x)/2$ se $x<0$ e $f(x)=(x-x)/2=0$ se $x>0$?
Hai ragione, ho scambiato i termini $|x| , x $ tra di loro 
Quindi $f(x)= -x $ per $-pi<=x<=0 $ ; $f(x)=0$ per $0<= x<= pi $ .
$a_0 =1/pi int_-pi^0 -xdx= pi/2 $.
$a_k= int_-pi^0 -x coskx dx = -2/(pi k^2) $ per $k $ dispari; altrimenti $ = 0 $ per $k $ pari. (*).
$b_k= 1/pi int_-pi ^0 -x sinkx dx =(-1)^k/k.
In conclusione $ f(x) ----> pi/4 - 2/pi cosx -2/(9pi) cos 3x- ... -sinx +sin(2x)/2 -sin (3x)/3+... $
La funzione è regolare a tratti, la sua periodizzata è però discontinua ( non vale la condizione di raccordo), perciò i coefficienti di Fuorier $a_k,b_k rarr 0 $ per $ k rarr oo $ ma non saranno $o(1/k) $ [ in effetti gli $a_k $ lo sono ma i $b_k$ no ].
La serie di Fourier converge puntualemnte alla $f(x)$ in tutti i punti di $ (-pi,pi)$ , mentre negli estremi dell'intervallo converge alla
media dei valori $ (f(-pi)+f(pi))/2= pi/2$.
(*) $int x coskx dx=cos(kx)/k^2 +xsin(kx)/k $ etc .
Quindi $f(x)= -x $ per $-pi<=x<=0 $ ; $f(x)=0$ per $0<= x<= pi $ .
$a_0 =1/pi int_-pi^0 -xdx= pi/2 $.
$a_k= int_-pi^0 -x coskx dx = -2/(pi k^2) $ per $k $ dispari; altrimenti $ = 0 $ per $k $ pari. (*).
$b_k= 1/pi int_-pi ^0 -x sinkx dx =(-1)^k/k.
In conclusione $ f(x) ----> pi/4 - 2/pi cosx -2/(9pi) cos 3x- ... -sinx +sin(2x)/2 -sin (3x)/3+... $
La funzione è regolare a tratti, la sua periodizzata è però discontinua ( non vale la condizione di raccordo), perciò i coefficienti di Fuorier $a_k,b_k rarr 0 $ per $ k rarr oo $ ma non saranno $o(1/k) $ [ in effetti gli $a_k $ lo sono ma i $b_k$ no ].
La serie di Fourier converge puntualemnte alla $f(x)$ in tutti i punti di $ (-pi,pi)$ , mentre negli estremi dell'intervallo converge alla
media dei valori $ (f(-pi)+f(pi))/2= pi/2$.
(*) $int x coskx dx=cos(kx)/k^2 +xsin(kx)/k $ etc .
$a_k=1/\pi*int_-\pi^0 -x coskx dx=(1/\pi*[-cos(kx)/k^2 -xsin(kx)/k]^0)_(-\pi) =-1/(\pi k^2)+(-1)^k/(\pi k^2)= -2/(pi k^2) $ per $k $ dispari; altrimenti $ = 0 $ per $k $ pari.
Mi ero perso in questo integrale. Urgono altri esercizi. Grazie per la correzione e per l'analisi conclusiva.
P.S. Scusa la scrittura dopo il secondo segno di uguaglianza ma non saprei proprio un modo migliore per riproporla.
Mi ero perso in questo integrale. Urgono altri esercizi. Grazie per la correzione e per l'analisi conclusiva.
P.S. Scusa la scrittura dopo il secondo segno di uguaglianza ma non saprei proprio un modo migliore per riproporla.
Eccoli 
Determinare la serie di Fourier delle seguenti funzioni :
$f(x)= e^x $ in $[0,2pi]$.
$f(x)= x^2 $ in $[-pi,pi] $.
Determinare la serie di Fourier delle seguenti funzioni :
$f(x)= e^x $ in $[0,2pi]$.
$f(x)= x^2 $ in $[-pi,pi] $.
Partiamo da $f(x)=x^2$. La funzione è pari, quindi otterremo uno sviluppo in soli coseni.
$a_0=1/\pi*int_-\pi^\pix^2dx=2\pi^2/3
$a_k=1/\pi*int_-\pi^\pix^2coskxdx=0-1/(k\pi)*int_-\pi^\pi2xsinkxdx$
$=2/(\pi*k^2)*[x*cos(kx)]^\pi)_(-\pi)- 2/(\pi*k^2)*int_-\pi^\picoskxdx=4/k^2*(-1)^k$ da cui
$x^2=\pi^2/3+4*(-cosx+cos(2x)/4-cos(3x)/9+...+ (-1)^k*cos(kx)/k^2+..)$
So che il segno di uguaglianza non è appropriato, ma devo arricchire la mia conoscenza dei comandi di scrittura.
$a_0=1/\pi*int_-\pi^\pix^2dx=2\pi^2/3
$a_k=1/\pi*int_-\pi^\pix^2coskxdx=0-1/(k\pi)*int_-\pi^\pi2xsinkxdx$
$=2/(\pi*k^2)*[x*cos(kx)]^\pi)_(-\pi)- 2/(\pi*k^2)*int_-\pi^\picoskxdx=4/k^2*(-1)^k$ da cui
$x^2=\pi^2/3+4*(-cosx+cos(2x)/4-cos(3x)/9+...+ (-1)^k*cos(kx)/k^2+..)$
So che il segno di uguaglianza non è appropriato, ma devo arricchire la mia conoscenza dei comandi di scrittura.
OK
La funzione è $ C^2[-pi,pi] $ e soddisfa la condizione $f(-pi) = f(pi)$ ma NON la condizione $f'(-pi) = f'(pi)$.
Pertanto la serie di Fourier converge a $ x^2 $ in tutto $[-pi,pi] $ e si può derivare termine a termine in tutto $(-pi,pi) $ ma non negli estremi.
La funzione è $ C^2[-pi,pi] $ e soddisfa la condizione $f(-pi) = f(pi)$ ma NON la condizione $f'(-pi) = f'(pi)$.
Pertanto la serie di Fourier converge a $ x^2 $ in tutto $[-pi,pi] $ e si può derivare termine a termine in tutto $(-pi,pi) $ ma non negli estremi.
Ecco l'altra:
$a_0=1/\pi*int_0^(2\pi)e^xdx=(e^(2\pi)-1)/\pi$
$a_k=1/\pi*int_0^(2\pi)e^xcoskxdx=-1/(k\pi)*int_0^(2\pi)e^xsinkxdx=(e^(2\pi)-1)/(\pi*k^2)-1/\pi*int_0^(2\pi)e^xcoskxdx$
Quindi $1/\pi*int_0^(2\pi)e^xcoskxdx=(e^(2\pi)-1)/(\pi*(k^2+1))$
Notiamo che per la seconda uguaglianza $b_k=-k*a_k$
Dunque $e^x \to (e^(2\pi)-1)/\pi*(1/2+cosx/2-sinx/2+cos(2x)/5-2sin(2x)/5+...+cos(kx)/(k^2+1)-k*sin(kx)/(k^2+1)+...)$
La funzione è $C^(\infty)[0,2\pi]$, ma $f(0)=f'(0)!=f'(\pi)=f(2\pi)$, dunque la periodicizzata è discontinua. C'è convergenza puntualemente della serie a $f(x)$ in tutti i punti di $]-\pi; \pi[$ , mentre negli estremi dell'intervallo converge a $(f(0)+f(2\pi))/2=(e^(2\pi)+1)/2$.
$a_0=1/\pi*int_0^(2\pi)e^xdx=(e^(2\pi)-1)/\pi$
$a_k=1/\pi*int_0^(2\pi)e^xcoskxdx=-1/(k\pi)*int_0^(2\pi)e^xsinkxdx=(e^(2\pi)-1)/(\pi*k^2)-1/\pi*int_0^(2\pi)e^xcoskxdx$
Quindi $1/\pi*int_0^(2\pi)e^xcoskxdx=(e^(2\pi)-1)/(\pi*(k^2+1))$
Notiamo che per la seconda uguaglianza $b_k=-k*a_k$
Dunque $e^x \to (e^(2\pi)-1)/\pi*(1/2+cosx/2-sinx/2+cos(2x)/5-2sin(2x)/5+...+cos(kx)/(k^2+1)-k*sin(kx)/(k^2+1)+...)$
La funzione è $C^(\infty)[0,2\pi]$, ma $f(0)=f'(0)!=f'(\pi)=f(2\pi)$, dunque la periodicizzata è discontinua. C'è convergenza puntualemente della serie a $f(x)$ in tutti i punti di $]-\pi; \pi[$ , mentre negli estremi dell'intervallo converge a $(f(0)+f(2\pi))/2=(e^(2\pi)+1)/2$.
OK quindi $e^x = (e^(2pi)-1)/(2pi) +sum_1^(oo) [ 1/pi (e^(2pi)-1)/(1+k^2) coskx +k/pi (1-e^(2pi))/(1+k^2) sinkx ]$.
La serie dei coseni converge totalmente mentre la serie dei seni converge solo semplicemente.
Ecco due ultimi esercizi da sviluppare in serie di Fourier:
* $f(x) = 1-|x| $ per $x in[-1,1] $.
* $f(x)= 1 $ per $ x in [0,1]$ e $ f(x)= 1+x $ per $ x in [ -1,0] $.
La serie dei coseni converge totalmente mentre la serie dei seni converge solo semplicemente.
Ecco due ultimi esercizi da sviluppare in serie di Fourier:
* $f(x) = 1-|x| $ per $x in[-1,1] $.
* $f(x)= 1 $ per $ x in [0,1]$ e $ f(x)= 1+x $ per $ x in [ -1,0] $.
Consideriamo $f(x)=1-|x|$. Utilizzerò la forma $a_k=2/T*int_c^(c+T)f(x)cos(2k\pix/T)dx$ e una formula analoga per $b_k$.
$a_0=int_(-1)^0(1+x)dx + int_0^1(1-x)dx=1/2+1/2=1$
$a_k=int_(-1)^0(1+x)cosk\pixdx + int_0^1(1-x)cosk\pixdx=int_(-1)^1cosk\pixdx -2*int_0^1xcosk\pixdx=2/(k\pi)*int_0^1sink\pixdx=-2/(k\pi)^2*(cosk\pi-1)$
Dunque $a_k=(2/(k\pi))^2$ per $k$ dispari, 0 per $k$ pari. $b_k=0$ in quanto la funzione è pari.
$f(x) \to 1/2+ 4/\pi^2*(cosx+cos(3x)/9+...+cos((2k-1)x)/(2k-1)^2*...)$
Ponendo $x=0$ ricaviamo la nota l'identità $\sum_{k=1}^(+\infty) 1/(2k-1)^2=\pi^2/8$
$a_0=int_(-1)^0(1+x)dx + int_0^1(1-x)dx=1/2+1/2=1$
$a_k=int_(-1)^0(1+x)cosk\pixdx + int_0^1(1-x)cosk\pixdx=int_(-1)^1cosk\pixdx -2*int_0^1xcosk\pixdx=2/(k\pi)*int_0^1sink\pixdx=-2/(k\pi)^2*(cosk\pi-1)$
Dunque $a_k=(2/(k\pi))^2$ per $k$ dispari, 0 per $k$ pari. $b_k=0$ in quanto la funzione è pari.
$f(x) \to 1/2+ 4/\pi^2*(cosx+cos(3x)/9+...+cos((2k-1)x)/(2k-1)^2*...)$
Ponendo $x=0$ ricaviamo la nota l'identità $\sum_{k=1}^(+\infty) 1/(2k-1)^2=\pi^2/8$
Ora l'altro esercizio:
$a_0=int_(-1)^0(1+x)dx + int_0^1dx=3/2$
$a_k=int_(-1)^0(1+x)cosk\pixdx + int_0^1cosk\pixdx=int_(-1)^1cosk\pixdx +int_(-1)^0xcosk\pixdx=-1/(k\pi)*int_(-1)^0sink\pixdx=1/(k\pi)^2*(1+cosk\pi)$
Dunque $a_k=2/(k\pi)^2$ per $k$ pari, 0 per $k$ dispari.
$b_k=int_(-1)^0(1+x)sink\pixdx + int_0^1sink\pixdx=int_(-1)^1sink\pixdx +int_(-1)^0xsink\pixdx=0+cos(k\pi)/(k\pi)+1/(k\pi)*int_(-1)^0xcosk\pixdx=(-1)^k/(\pik)$
$f(x) \to 3/4+ cos(2x)/(4\pi^2)+cos(4x)/(16\pi^2)+...+cos(2kx)/(2k\pi)^2...-sinx/\pi+sin(2x)/(2\pi)+...+(-1)^k*sin(kx)/(\pik)+...$
Ponendo $x=0$ ricaviamo l'identità $\sum_{k=1}^(+\infty) 1/(2k)^2=\pi^2/8$
$a_0=int_(-1)^0(1+x)dx + int_0^1dx=3/2$
$a_k=int_(-1)^0(1+x)cosk\pixdx + int_0^1cosk\pixdx=int_(-1)^1cosk\pixdx +int_(-1)^0xcosk\pixdx=-1/(k\pi)*int_(-1)^0sink\pixdx=1/(k\pi)^2*(1+cosk\pi)$
Dunque $a_k=2/(k\pi)^2$ per $k$ pari, 0 per $k$ dispari.
$b_k=int_(-1)^0(1+x)sink\pixdx + int_0^1sink\pixdx=int_(-1)^1sink\pixdx +int_(-1)^0xsink\pixdx=0+cos(k\pi)/(k\pi)+1/(k\pi)*int_(-1)^0xcosk\pixdx=(-1)^k/(\pik)$
$f(x) \to 3/4+ cos(2x)/(4\pi^2)+cos(4x)/(16\pi^2)+...+cos(2kx)/(2k\pi)^2...-sinx/\pi+sin(2x)/(2\pi)+...+(-1)^k*sin(kx)/(\pik)+...$
Ponendo $x=0$ ricaviamo l'identità $\sum_{k=1}^(+\infty) 1/(2k)^2=\pi^2/8$
"Benny":
Consideriamo $f(x)=1-|x|$. Utilizzerò la forma $a_k=2/T*int_c^(c+T)f(x)cos(2k\pix/T)dx$ e una formula analoga per $b_k$.
$a_0=int_(-1)^0(1+x)dx + int_0^1(1-x)dx=1/2+1/2=1$
$a_k=int_(-1)^0(1+x)cosk\pixdx + int_0^1(1-x)cosk\pixdx=int_(-1)^1cosk\pixdx -2*int_0^1xcosk\pixdx=2/(k\pi)*int_0^1sink\pixdx=-2/(k\pi)^2*(cosk\pi-1)$
Dunque $a_k=(2/(k\pi))^2$ per $k$ dispari, 0 per $k$ pari. $b_k=0$ in quanto la funzione è pari.
$f(x) \to 1/2+ 4/\pi^2*(cosx+cos(3x)/9+...+cos((2k-1)x)/(2k-1)^2*...)$
Ponendo $x=0$ ricaviamo la nota l'identità $\sum_{k=1}^(+\infty) 1/(2k-1)^2=\pi^2/8$
OK Corretto
L'ultimo esercizio : è corretto $a_0 =3/2 $ mentre $a_k= (1-(-1)^k)/(pi^2k^2) $ e quindi $a_k=0 $ se $ k$ pari.
I $b_k $ non li ho verificati.
Ormai la serie di Fourier non ha più segreti per te
A quando lo scritto di Analisi 2 ?
I $b_k $ non li ho verificati.
Ormai la serie di Fourier non ha più segreti per te
A quando lo scritto di Analisi 2 ?
In verità le serie di Fourier non li ho studiate in Analisi 2 ma in Metodi matematici per l'ingegneria. Comunque è tra una decina di giorni. Non ero riuscito a procurarmi esercizi svolti in maniera dettagliata, ma ora mi sento più padrone dell'argomento.
Grazie mille per il tutorato, a risentirci.
Grazie mille per il tutorato, a risentirci.
In bocca al lupo
Crepi!!!
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