Serie di Fourier con modulo

floppyes
Ciao a tutti!

Devo determinare i coefficienti di Fourier $a_0$ , $a_1$ , $b_1$ della seguente funzione, di periodo $2pi$ definita in $ ]-pi,pi] $
$ { ( 3|senx| ),( 0 ):} $ il primo vale se $|x|
Il mio problema non è tanto calcolare il coefficiente, in quanto basta applicare la formula di $a_0$ ecc.. ma capire come dividere i moduli.

Io avevo pensato di calcolare prima l'integrale da $0$ a $pi/2$ utilizzando il $senx$ e poi integrare da $pi/2$ a $pi$ utilizzando $-senx$... ma purtroppo mi esce tutto 0 al poso di $3/pi$

Qualcuno mi può spiegare in questi casi come va diviso il modulo?

Grazie mille
Buone feste
Ciao!

Risposte
floppyes
Ciao!

Nessuno che ha qualche idea su come semplificare questo modulo?

Grazie :)
Ciaoo!

gugo82
La tua funzione \(f\) è il prolungamento periodico di periodo \(2\pi\) della funzione \(f_0:]-\pi,\pi]\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f_0(x):= \begin{cases} 3|\sin x| &\text{, se } -\pi/2 < x < \pi/2 \\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
La \(f\) soddisfa le condizioni di Dirichlet, quindi si può sviluppare in serie di Fourier con convergenza uniforme in ogni compatto che non contenga punti di discontinuità di \(f\).
[asvg]xmin=-4 ; xmax=4 ; xmin=-3 ; ymax=5 ;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("3*abs(sin(x))",-1.5708,1.5708);
line([-1.5701,0],[-3.14,0]); line([1.5701,0],[3.14,0]);
dot([-1.5701,0]); dot([1.5701,0]); dot([3.14,0]);[/asvg]
Dato che \(f\) è una funzione pari, poiché tale è \(f_0\), la sua serie di Fourier contiene solo coseni; perciò puoi dire subito che \(b_1=0\).
Per il calcolo di \(a_0\) e \(a_1\) basta ricorrere alla definizione, i.e.:
\[
\begin{split}
a_0 &= \frac{1}{\pi}\ \int_{-\pi}^\pi f_0(x)\ \text{d} x \\
&= \frac{2}{\pi}\ \int_0^\pi f_0(x)\ \text{d} x\\
&= \frac{2}{\pi}\ \int_0^{\pi/2} 3\sin x\ \text{d} x\\
&= \frac{6}{\pi}\ (-\cos x)\Big|_0^{\pi/2} \\
&= \frac{6}{\pi}\\
a_1 &= \frac{1}{\pi}\ \int_{-\pi}^\pi f_0(x)\ \cos x\ \text{d} x\\
&= \frac{2}{\pi}\ \int_0^\pi f_0(x)\ \cos x\ \text{d} x\\
&= \frac{2}{\pi}\ \int_0^{\pi/2} 3\sin x\ \cos x\ \text{d} x\\
&= \frac{3}{\pi}\ \int_0^{\pi/2} \sin (2x)\ \text{d} x\\
&\stackrel{t=2x}{=} \frac{3}{2\pi}\ \int_0^\pi \sin t\ \text{d} t\\
&= \frac{3}{2\pi}\ (-\cos t)\Big|_0^\pi \\
&= \frac{3}{\pi}\; ,
\end{split}
\]
ove ho usato il fatto che la funzione \(f_0(x)\) e la funzione \(f_0(x)\ \cos x\) sono pari, che il seno è \(\geq 0\) in \([0,\pi/2[\) e la formula di duplicazione del seno.

floppyes
Ciao!

Grazie mille per la risposta.. io avevo sbagliato a calcolare l'intervallo della x, quindi non riuscivo mai a calcolarmi i coefficienti!

Un'ultima cosa, l'esercizio mi chiede di calcolarmi la somma della serie di Fourier in $x=pi/2$.

Per trovare la somma applico l'uguaglianza di Parseval:
$ 1/piint_(0)^(2pi) |f(x)^2| dx $

che nel mio caso diventa:
$ 2/piint_(0)^(pi/2) (3senx)^2 dx $

che risulta $9/2$... invece il risultato corretto è $3/2$.

Mi pare che l'intervallo sia giusto.. ma non riesco a trovare l'errore!

Grazie mille
Ciaoo :)

gugo82
L'uguaglianza di Parseval non c'entra nulla.
Infatti essa ti fornisce la somma dei quadrati dei coefficienti di Fourier, non il valore della somma della serie in un punto.

Per l'importantissimo risultato di convergenza puntuale (di Dirichlet), la serie di Fourier di una funzione \(f\) che presenta sole discontinuità di prima specie ed ha la derivata prima con sole discontinuità di prima specie in un intervallo converge al valore:
\[
f^*(x):=\frac{1}{2} \Big( f(x^+)+f(x^-)\Big) = \frac{1}{2}\ \left( \lim_{\varepsilon\to 0^+} f(x+\varepsilon) + \lim_{\delta\to 0^-} f(x+\delta)\right)
\]
(il quale è proprio \(=f(x)\) se \(f\) è continua in \(x\); altrimenti è il punto medio del salto che \(f\) presenta in \(x\)).
Dato che la tua funzione presenta un salto in \(\pi/2\), la serie di Fourier converge verso il valore:
\[
f^*(x) = \frac{1}{2}\ \Big( f(\pi/2^+)+f(\pi/2^-)\Big) = \frac{1}{2}\ (3-0)=\frac{3}{2}\; .
\]

floppyes
Grazie mille adesso ho capito bene come funziona il tutto!

Grazie ancora
Ciaoo :)

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