Serie di Fourier
Ciao a tutti , è il primo esercizio sulle serie di Fourier , siate comprensivi se ci sono errori o assurdità grazie.
Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione f pari, 2π-periodica, definita su [0, π] da :
$f={(1, text{in}[0, \pi/2))(-1, text{in}(\pi/2 , \pi]):}$
Precisare i punti nei quali la serie converge e la somma della serie.
Per prima cosa calcolo i coefficienti $a_0 , a_k , b_k$ :
essendo la funzione pari posso già dire che $b_k = 0$
$a_0 = 1/(2pi) [ int_0^(\pi/2) 1 dx - int_(\pi/2)^(\pi) 1 dx]=0$
$a_k = 1/pi [ int_0^(\pi/2) cos(kx) dx - int_(\pi/2)^(\pi) cos(kx) dx] = 1/pi ([1/(ksen(kx))]_0^(\pi/2) -[1/(ksen(kx))]_(\pi/2)^(\pi))$ Ma qui mi blocco , sostituendo gli estremi nel primo di integrazione ottengo $sen (kpi/2)$ che può essere 1 , -1 come posso fare ??
Grazie
Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione f pari, 2π-periodica, definita su [0, π] da :
$f={(1, text{in}[0, \pi/2))(-1, text{in}(\pi/2 , \pi]):}$
Precisare i punti nei quali la serie converge e la somma della serie.
Per prima cosa calcolo i coefficienti $a_0 , a_k , b_k$ :
essendo la funzione pari posso già dire che $b_k = 0$
$a_0 = 1/(2pi) [ int_0^(\pi/2) 1 dx - int_(\pi/2)^(\pi) 1 dx]=0$
$a_k = 1/pi [ int_0^(\pi/2) cos(kx) dx - int_(\pi/2)^(\pi) cos(kx) dx] = 1/pi ([1/(ksen(kx))]_0^(\pi/2) -[1/(ksen(kx))]_(\pi/2)^(\pi))$ Ma qui mi blocco , sostituendo gli estremi nel primo di integrazione ottengo $sen (kpi/2)$ che può essere 1 , -1 come posso fare ??
Grazie
Risposte
Dunque, mi pare che venga
$a_k=1/{k\pi}[\sin({k\pi}/2)+\sin({k\pi}/2)]=2/{k\pi}\sin({k\pi}/2)$
A questo punto, considera separatamente i casi in cui $k$ è pari o dispari:
$k=2n,\ n\ge 1$ si ha $a_{2n}=2/{2n\pi}\sin(n\pi)=0$;
$k=2n+1,\ n\ge 0$ si ha $a_{2n+1}=2/{(2n+1)\pi}\sin(n\pi+\pi/2)=2/{(2n+1)\pi}\cos(n\pi)=2/{(2n+1)\pi}\cdot (-1)^n$
(infatti il $\cos(n\pi)$ assume valori $+1$ e $-1$ a seconda che $n$ sia pari o dispari),
Quella di suddividere i casi in pari e dispari è una tecnica abbastanza comune quando cerchi di esprimere in forma chiusa i coefficienti delle serie di Fourier.
$a_k=1/{k\pi}[\sin({k\pi}/2)+\sin({k\pi}/2)]=2/{k\pi}\sin({k\pi}/2)$
A questo punto, considera separatamente i casi in cui $k$ è pari o dispari:
$k=2n,\ n\ge 1$ si ha $a_{2n}=2/{2n\pi}\sin(n\pi)=0$;
$k=2n+1,\ n\ge 0$ si ha $a_{2n+1}=2/{(2n+1)\pi}\sin(n\pi+\pi/2)=2/{(2n+1)\pi}\cos(n\pi)=2/{(2n+1)\pi}\cdot (-1)^n$
(infatti il $\cos(n\pi)$ assume valori $+1$ e $-1$ a seconda che $n$ sia pari o dispari),
Quella di suddividere i casi in pari e dispari è una tecnica abbastanza comune quando cerchi di esprimere in forma chiusa i coefficienti delle serie di Fourier.
Grazie per aver risposto ; per prima cosa devo capire come sei arrivato ad $a_k$
$a_k = 1/pi [ int_0^(\pi/2) cos(kx) dx - int_(\pi/2)^(\pi) cos(kx) dx] = 1/pi ([1/(ksen(kx))]_0^(\pi/2) -[1/(ksen(kx))]_(\pi/2)^(\pi))$ se fin qua è giusto devo sostituire gli estremi e ottengo : $1/pi ([1/(ksen((k\pi)/2))]+[1/(ksen((k\pi)/2))]) = 2/(kpi) (1/(ksen((kpi)/2)))$.
A te però il mio denominatore va al numeratore ; dove sbaglio ??
$a_k = 1/pi [ int_0^(\pi/2) cos(kx) dx - int_(\pi/2)^(\pi) cos(kx) dx] = 1/pi ([1/(ksen(kx))]_0^(\pi/2) -[1/(ksen(kx))]_(\pi/2)^(\pi))$ se fin qua è giusto devo sostituire gli estremi e ottengo : $1/pi ([1/(ksen((k\pi)/2))]+[1/(ksen((k\pi)/2))]) = 2/(kpi) (1/(ksen((kpi)/2)))$.
A te però il mio denominatore va al numeratore ; dove sbaglio ??
Intanto che aspetto la tua risposta sono andato avanti e l'ho svolto in entrambi i casi :
Lo scrivo nel tuo caso , cioè con $a_k = 2/(kpi) sin ((kpi)/2)$ ; ho capito bene il "metodo" della sostituzione con k pari e k dispari , ci serve , dal momento che abbiamo funzioni che "oscillano" tra -1 e 1.
Prima una domanda $sin (pi n+pi/2)=cos(pi n)$ centra con gli archi associati??
Quindi sapendo che con k pari $a_k$ si annulla e con k dispari $a_k = 2/((2n+1)pi) (-1)^n$ non mi resta che scrivere la serie di Fourier ossia : (uso n già che l'abbiamo usata)
$f = 1/2 a_0 + sum_(n=1)^(infty) (a_n cosnx + b_n sinnx) -> sum_(n=1)^(infty)( 2(-1)^n)/((2n+1)pi) cos (2n+1)x $
che fatica
... attendo tue risposte quando puoi !! Grazie mille
Lo scrivo nel tuo caso , cioè con $a_k = 2/(kpi) sin ((kpi)/2)$ ; ho capito bene il "metodo" della sostituzione con k pari e k dispari , ci serve , dal momento che abbiamo funzioni che "oscillano" tra -1 e 1.
Prima una domanda $sin (pi n+pi/2)=cos(pi n)$ centra con gli archi associati??
Quindi sapendo che con k pari $a_k$ si annulla e con k dispari $a_k = 2/((2n+1)pi) (-1)^n$ non mi resta che scrivere la serie di Fourier ossia : (uso n già che l'abbiamo usata)
$f = 1/2 a_0 + sum_(n=1)^(infty) (a_n cosnx + b_n sinnx) -> sum_(n=1)^(infty)( 2(-1)^n)/((2n+1)pi) cos (2n+1)x $
che fatica
... attendo tue risposte quando puoi !! Grazie mille
Ciampax ho risolto ...avevi ragione tu !! Sbagliavo l'integrazione più avanti scrivo il resto dell'esercizio !! Grazie 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo