Serie di Fourier

[DavideGenova1]

Sapendo che $cos(r sint)=\sum_{n=0}^{oo} (J_n(r)+J_n(-r))cos(nt)$ e $sin(r sint)=\sum_{n=0}^{oo} (J_n(r)-J_n(-r))sin(nt)$ dove r è un numero reale e $J_n(x)=\sum_{k=0}^{oo} (-1)^k/(2^(2k+n)k!(n+k)!) x^(2k+n)$ è la funzione di Bessel di ordine n, dovrei dimostrare che
\[\cos(\mu t+r \sin t)=\sum_{n=0}^{\infty} J_n(r)\cos((\mu-n)t)+J_n(-r)\cos((\mu+n)t).\]
Dato che mi pare che $\cos(\mu t+r \sin t)=cos(\mu t)cos(r sint)-sin(\mu t)sin(r sint)$ direi che, tenendo presente le due uguaglianze di qui sopra, utilizzando identità trigonometriche:
$\cos(\mu t+r \sin t)=\cos(\mu t) \sum_{n=0}^{oo} (J_n(r)+J_n(-r))cos(nt) - sin(\mu t)\sum_{n=0}^{oo} (J_n(r)-J_n(-r))sin(nt)$
$= \sum_{n=0}^{oo} (J_n(r)+J_n(-r)) (cos((\mu+n)t)+cos((\mu-n)t))/2$
$- \sum_{n=0}^{oo} (J_n(r)-J_n(-r)) (cos((\mu-n)t)-cos((\mu+n)t))/2$
$=\sum_{n=0}^{\infty} J_n(r)\cos((\mu+n)t)+J_n(-r)\cos((\mu-n)t)$.
Che cosa ne pensate? Mi sarò perso direi in una bicchier d'acqua trigonometrico? Tengo particolarmente a questo risultato perché è utilizzato in molti esercizi successivi...
Ciao e $+oo$ grazie a tutti!

[DavideGenova1]

Negli esercizi in cui il mio libro dice che si deve utilizzare la relazione \(\cos(\mu t+r \sin t)=\sum_{n=0}^{\infty} J_n(r)\cos((\mu-n)t)+J_n(-r)\cos((\mu+n)t)\) trovo risultati dati per corretti dal testo se utilizzo invece \(\cos(\mu t+r \sin t)=\sum_{n=0}^{\infty} J_n(-r)\cos((\mu-n)t)+J_n(r)\cos((\mu+n)t)\), quindi comincio a sospettare fortemente che ci possa essere un refuso nel libro...

[ciampax]

"DavideGenova":
$\cos(\mu t+r \sin t)=\cos(\mu t) \sum_{n=0}^{oo} (J_n(r)+J_n(-r))cos(nt) - sin(\mu t)\sum_{n=0}^{oo} (J_n(r)-J_n(-r))sin(nt)$

da qui hai

$=\sum_{n=0}^\infty \{J_n(r)[\cos(\mu t)\cos(nt)-\sin(\mu t)\sin(nt)]+J_n(-r)[\cos(\mu t)\cos(nt)+\sin(\mu t)\sin(nt)]\}=$

$=\sum_{n=0}^\infty [J_n(r)\cos(\mu t+nt)+J_n(-r)\cos(\mu t-n t)]$

che è la relazione corretta.

[DavideGenova1]

Grazie di cuore, Ciampax! Mi conforta sapere che capisco ancora qualcosettina di trigonometria... Quando ci sono refusi in un libro di matematica è decisamente frustrante: ho perso una serata e una mattinata a cercare di trovare un errore in un calcolo corretto...
Ciao e grazie ancora!