Serie di Fourier
Salve a tutti
ho una domanda da fare in merito alle serie di Fourier
Quando mi viene chiesto di calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione non ho ben capito come devo considerare il parametro k
mi spiego meglio con un esempio
ho la funzione f(x)=x in [0,2[tex]{\pi}[/tex]]
quando devo cercare gli [tex]$a_n$ \qquad[/tex] faccio l'integrale di f(x)cos(kwx)
ma quel k all'interno del coseno come lo devo considerare visto che l'integrale è definito e che a secondo del valore che assume posso avere diversi valori dell'integrale?
(naturalmente il "mio problema" sta anche nella risoluzione dei [tex]$b_n$ \qquad[/tex] dove però all'interno dell'integrale c'è il seno)
ho una domanda da fare in merito alle serie di Fourier
Quando mi viene chiesto di calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione non ho ben capito come devo considerare il parametro k
mi spiego meglio con un esempio
ho la funzione f(x)=x in [0,2[tex]{\pi}[/tex]]
quando devo cercare gli [tex]$a_n$ \qquad[/tex] faccio l'integrale di f(x)cos(kwx)
ma quel k all'interno del coseno come lo devo considerare visto che l'integrale è definito e che a secondo del valore che assume posso avere diversi valori dell'integrale?
(naturalmente il "mio problema" sta anche nella risoluzione dei [tex]$b_n$ \qquad[/tex] dove però all'interno dell'integrale c'è il seno)
Risposte
Calcolare l'integrale è indipendente dal valore di [tex]k[/tex], dal momento che è una costante rispetto alla variabile di integrazione. Poi ovviamente i coefficienti, che è il risultato dell'integrazione, dipenderanno da quel valore. Non ho ben capito qual è il tuo dubbio.
innanzitutto grazie per l'aiuto
il mio problema sta proprio nel fatto di calcolare il risultato dell'intergrale ad esempio mettiamo che il mio integrale sia
[tex]\int_a^b coskx\, dx[/tex]
allora il risultato sarà dato ovviamente da [tex][1/k senkx]_a^b[/tex]
ma a seconda di quel k all'interno del seno ho una variazione sul risultato o sto sbagliando io?
cioè se ad esempio gli estremi di intergrazione fossero [tex]\pi/2[/tex] e [tex]-\pi/2[/tex]
al variare di k avrei diversi risultati del valore finale dell'integrale
Spero di aver chiarito meglio in cosa consiste il mio problema
Ringrazio anticipatamente
il mio problema sta proprio nel fatto di calcolare il risultato dell'intergrale ad esempio mettiamo che il mio integrale sia
[tex]\int_a^b coskx\, dx[/tex]
allora il risultato sarà dato ovviamente da [tex][1/k senkx]_a^b[/tex]
ma a seconda di quel k all'interno del seno ho una variazione sul risultato o sto sbagliando io?
cioè se ad esempio gli estremi di intergrazione fossero [tex]\pi/2[/tex] e [tex]-\pi/2[/tex]
al variare di k avrei diversi risultati del valore finale dell'integrale
Spero di aver chiarito meglio in cosa consiste il mio problema
Ringrazio anticipatamente
"corvallo":
innanzitutto grazie per l'aiuto
il mio problema sta proprio nel fatto di calcolare il risultato dell'intergrale ad esempio mettiamo che il mio integrale sia
[tex]\int_a^b coskx\, dx[/tex]
allora il risultato sarà dato ovviamente da [tex][1/k senkx]_a^b[/tex]
ma a seconda di quel k all'interno del seno ho una variazione sul risultato o sto sbagliando io?
cioè se ad esempio gli estremi di intergrazione fossero [tex]\pi/2[/tex] e [tex]-\pi/2[/tex]
al variare di k avrei diversi risultati del valore finale dell'integrale
E certo che quell'integrale deve variare in generale!
Scusa, la serie di Fourier associata ad una funzione [tex]$f:[-\pi ,\pi]\to \mathbb{R}$[/tex] è per definizione un oggetto del tipo:
[tex]$\frac{a_0}{2}+\sum a_k\ \cos kx +b_k\ \sin kx$[/tex]
in cui i coefficienti [tex]$a_k,\ b_k$[/tex] dipendono, in generale, dall'indice [tex]$k$[/tex]; inoltre, dalla teoria sai che:
[tex]$a_k=\frac{1}{\pi}\ \int_{-\pi}^\pi f(x)\ \cos kx\ \text{d} x ,\ b_k=\frac{1}{\pi}\ \int_{-\pi}^\pi f(x)\ \sin kx\ \text{d} x $[/tex],
quindi il risultato degli integrali dipenderà in generale da [tex]$k$[/tex] proprio perchè essi sono proporzionali ai coefficienti della serie di Fourier associata ad [tex]$f$[/tex].
ok ma allora perchè mi viene fornito nella soluzione un unico risultato ?
E' questo quello che non mi spiego
E' questo quello che non mi spiego
Se non sbaglio, per definizione:
[tex]$a_0:=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x\ \text{d} x =2\pi$[/tex],
[tex]$\forall n\neq 0,\ a_n:=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x\ \cos nx\ \text{d} x =\frac{1}{n\pi} \left\{ - [x\sin nx]_0^{2\pi} +\int_0^{2\pi} \sin nx\ \text{d} x\right\}=\frac{1}{n^2\pi} [\cos nx]_0^{2\pi}=0$[/tex]...
Più che altro mi preoccuperei degli integrali col seno.
[tex]$a_0:=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x\ \text{d} x =2\pi$[/tex],
[tex]$\forall n\neq 0,\ a_n:=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x\ \cos nx\ \text{d} x =\frac{1}{n\pi} \left\{ - [x\sin nx]_0^{2\pi} +\int_0^{2\pi} \sin nx\ \text{d} x\right\}=\frac{1}{n^2\pi} [\cos nx]_0^{2\pi}=0$[/tex]...
Più che altro mi preoccuperei degli integrali col seno.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo