Serie di fourier
Ciao ragazzi la mia domanda è questa: mi sapete mostrare i passaggi per passare dalla nota serie :
$f( x ) = a_0 + \sum_{n =1}^\infty a_n cos(nx)+b_n sin(nx)$
alla forma alternativa:
$f(x)=\sum_{n= -infty}^\infty\f(n) e^(i nx)$
E' nota la relazione di eulero ma non capisco come all'improvviso spunti quella i immaginaria e come cambino gli indici della sommatoria.
$f( x ) = a_0 + \sum_{n =1}^\infty a_n cos(nx)+b_n sin(nx)$
alla forma alternativa:
$f(x)=\sum_{n= -infty}^\infty\f(n) e^(i nx)$
E' nota la relazione di eulero ma non capisco come all'improvviso spunti quella i immaginaria e come cambino gli indici della sommatoria.
Risposte
Ciao, sostanzialmente sono solo conti.
Il procedimento lo trovi qua http://www.mat.uniroma1.it/mat_cms/mate ... cients.pdf
tra la pagina 2 e la 3.
Il procedimento lo trovi qua http://www.mat.uniroma1.it/mat_cms/mate ... cients.pdf
tra la pagina 2 e la 3.
La seconda formula non è corretta in quanto è invece :
$f(x)= sum_(n=-oo)^(+oo) hatf (n)e^(i n x)$.
Poichè $ n $ assume valori interi positivi e negativi preferisco indicarlo con $k in ZZ$ per cui la serie di Fourier di $ f $ in forma esponenziale diventa :
$f(x)= sum_(k=-oo)^(+oo) hatf (k)e^(ikx)$.
Da notare che i coefficienti di Fourier (per la forma esponenziale ) $hatf (k) $ sono dati da :
$hat f(k)=1/(2pi) int_0^(2pi) f(t)e^(-ikt)dt $ per $ k in ZZ$.
I coefficienti di Fourier per la serie in forma trigonometrica $a_k,b_k $ sono invece dati da :
$a_k = 1/pi int_0^(2pi)f(t)cos(kt)dt $ con $k=0,1,2,...$
$b_k= 1/pi int_0^(2pi) f(t) sin(kt)dt $ con $ k=1,2,...$
Valgono inoltre le importanti relazioni tra coefficienti di Fourier della serie in forma trigonometrica $(a_k,b_k )$ e in forma esponenziale $hat f(k) $ :
per $k=1,2,3.....$
$hat f(k)=1/2(a_k-ib_k) $
$hat f(-k) =1/2(a_k+ib_k)$
$hat f(0)=a_0/2$
e viceversa
$a_k= hatf(k)+hatf(-k)$
$b_k= i(hatf(k)-hatf(-k))$
$a_0= 2 hatf(0)$
Ricordando poi la formula di Eulero : $e^(ix)=cos x +i sin x $ e ovviamnete causa la parità della funzione coseno $e^(-ix)=cosx-isinx $ è facile verificare che le 2 forme della serie di Fourier sono uguali ( un po' di conti da fare....)
$f(x)= sum_(n=-oo)^(+oo) hatf (n)e^(i n x)$.
Poichè $ n $ assume valori interi positivi e negativi preferisco indicarlo con $k in ZZ$ per cui la serie di Fourier di $ f $ in forma esponenziale diventa :
$f(x)= sum_(k=-oo)^(+oo) hatf (k)e^(ikx)$.
Da notare che i coefficienti di Fourier (per la forma esponenziale ) $hatf (k) $ sono dati da :
$hat f(k)=1/(2pi) int_0^(2pi) f(t)e^(-ikt)dt $ per $ k in ZZ$.
I coefficienti di Fourier per la serie in forma trigonometrica $a_k,b_k $ sono invece dati da :
$a_k = 1/pi int_0^(2pi)f(t)cos(kt)dt $ con $k=0,1,2,...$
$b_k= 1/pi int_0^(2pi) f(t) sin(kt)dt $ con $ k=1,2,...$
Valgono inoltre le importanti relazioni tra coefficienti di Fourier della serie in forma trigonometrica $(a_k,b_k )$ e in forma esponenziale $hat f(k) $ :
per $k=1,2,3.....$
$hat f(k)=1/2(a_k-ib_k) $
$hat f(-k) =1/2(a_k+ib_k)$
$hat f(0)=a_0/2$
e viceversa
$a_k= hatf(k)+hatf(-k)$
$b_k= i(hatf(k)-hatf(-k))$
$a_0= 2 hatf(0)$
Ricordando poi la formula di Eulero : $e^(ix)=cos x +i sin x $ e ovviamnete causa la parità della funzione coseno $e^(-ix)=cosx-isinx $ è facile verificare che le 2 forme della serie di Fourier sono uguali ( un po' di conti da fare....)
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