Serie di fourier
Ciao a tutti
la funzione è $f(x)=xcosx $ $ in [-pi,pi] $ $ 2pi periodica $
e risulta sviluppabile in serie di fourier
Ho usato le formule di addizione del seno e mi viene :
$Sn =2 sum_(n=1)^(n=oo) (-1)^n n/(n^2-1) sen nx$
Il problema è che (naturalmente) con n=1 la serie dà infinito.
Il testo ( Esercizi di Analisi Matematica 2 Salsa Zanichelli) riporta il seguente risultato:
$Sn= -1/2 sen x + 2 sum_(n=2)^(n=oo) (-1)^n n/(n^2-1) sen nx$
Come ci si arriva? Qualcuno puo aiutarmi? Ho un esame ........
la funzione è $f(x)=xcosx $ $ in [-pi,pi] $ $ 2pi periodica $
e risulta sviluppabile in serie di fourier
Ho usato le formule di addizione del seno e mi viene :
$Sn =2 sum_(n=1)^(n=oo) (-1)^n n/(n^2-1) sen nx$
Il problema è che (naturalmente) con n=1 la serie dà infinito.
Il testo ( Esercizi di Analisi Matematica 2 Salsa Zanichelli) riporta il seguente risultato:
$Sn= -1/2 sen x + 2 sum_(n=2)^(n=oo) (-1)^n n/(n^2-1) sen nx$
Come ci si arriva? Qualcuno puo aiutarmi? Ho un esame ........
Risposte
sono cose che ho fatto un po' di tempo fa e dovrei riprendere in mano per poterti rispondere (se ti potesse aiutare qualcun altro sarebbe meglio). ma sei sicuro che la funzione sia quella? cos'è che appartiene all'intervallo $[-pi, pi]$: l'immagine f(X) oppure x? e con $2pi periodica$ intendi la ripetizione periodica con periodo $2pi$ di f(x) definita su $ [-pi, pi] $ (ovvero $\sum_{k}f(x+2pik)$) ?
così come l'hai scritta non è periodica.. fammi sapere (magari riporta pure il procedimento così mi rispolvero queste cose)
così come l'hai scritta non è periodica.. fammi sapere (magari riporta pure il procedimento così mi rispolvero queste cose)
be, si prende la restrizione tra $-pi $ $ e $ $ pi $
e la funzione è dispari.
e la funzione è dispari.
posta il procedimento se non è troppo lungo, così vedo se riesco a darti una dritta, al limite ti aiuteranno altri..
[edit] dimenticavo di aggiungere che da me c'è parecchio temporale, quindi potrei non riuscire a risponderti in un tempo ragionevole se salta la corrente o la connessione
[edit] dimenticavo di aggiungere che da me c'è parecchio temporale, quindi potrei non riuscire a risponderti in un tempo ragionevole se salta la corrente o la connessione
Cn = $2/sqrt(pi) int_ (0)^(pi) xcosx sen(nx) dx $
$ cosxsen(nx)= (sen(x+nx) - sen(x-nx))/2$
Cn = $2/sqrt(pi) (int_ (0)^(pi) xsen(x+nx) dx - int_ (0)^(pi) xsen(x-nx) dx )
....................................................
non so bene come si scrivono questi passaggi comunque alla fine viene:
$ 1/sqrt(pi) * sqrt(pi) (((-1)^n)/(n+1) + ((-1)^n)/(n-1) )$
$ cosxsen(nx)= (sen(x+nx) - sen(x-nx))/2$
Cn = $2/sqrt(pi) (int_ (0)^(pi) xsen(x+nx) dx - int_ (0)^(pi) xsen(x-nx) dx )
....................................................
non so bene come si scrivono questi passaggi comunque alla fine viene:
$ 1/sqrt(pi) * sqrt(pi) (((-1)^n)/(n+1) + ((-1)^n)/(n-1) )$
ci risono.. intanto notavo una cosa: nel fattore dell'integrale per il calcolo dei coefficienti non dovresti mettere $pi$ anzichè la sua radice?
comunque io ho provato a fare il caso n=1, e il fattore viene corretto, -1/2 (l'integrale di $x \sin(x-nx)$ si annulla, mentre il primo lo calcoli per parti).
l'impostazione è corretta, ma quando vedi che succedono cose strane coi denominatori prova a calcolare il caso specifico
comunque io ho provato a fare il caso n=1, e il fattore viene corretto, -1/2 (l'integrale di $x \sin(x-nx)$ si annulla, mentre il primo lo calcoli per parti).
l'impostazione è corretta, ma quando vedi che succedono cose strane coi denominatori prova a calcolare il caso specifico
Caspita, sembra l'uovo di colombo !!! Non ci avevo pensato grazie mille cosi si risolve
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