Serie di Fourier
Salve,
ho un problema con lo sviluppo in serie di Fourier.
La funzione è:
$f(t)=0$ per $-1 <= t <0$
$f(t)=t$ per $0 <= t < 1$ con periodo $T = 2$
La trasformata di Fourier è $hat f(n) = int_0^1 t e^(-i n t) dt$ (non considero l'intervallo fra $-1$ e $0$ perchè la funzione è nulla).
Il risultato dell'integrale è $hat f(n) = - e^(-i n)/(i n) + e^(- i n)/n^2 - 1/n^2$; per $n=0$ da prima si ricava che $hat f(0) = 1/2$
Lo sviluppo in serie sarebbe quindi $f(t) = 1/2 + sum_(-infty)^(+infty) 1/2 hat f(n) e^(i n t) = 1/2 + sum_1^infty hat f(n) e^(i n t)$
Il risultato corretto è $f(t) = 1/4 - sum_1^infty ((2 cos (2 n - 1) pi t))/((2 n - 1)^2 pi^2) + ((- 1)^n sin (n pi t))/(n pi)$
Come ci arrivo? Il mio risultato è completamente diverso! Potrei usare la formula di Eulero per sviluppare l'esponenziale, ma poi?
P.S: Il prof vuole che usiamo questo sviluppo al posto di quello classico in seno e coseno...
ho un problema con lo sviluppo in serie di Fourier.
La funzione è:
$f(t)=0$ per $-1 <= t <0$
$f(t)=t$ per $0 <= t < 1$ con periodo $T = 2$
La trasformata di Fourier è $hat f(n) = int_0^1 t e^(-i n t) dt$ (non considero l'intervallo fra $-1$ e $0$ perchè la funzione è nulla).
Il risultato dell'integrale è $hat f(n) = - e^(-i n)/(i n) + e^(- i n)/n^2 - 1/n^2$; per $n=0$ da prima si ricava che $hat f(0) = 1/2$
Lo sviluppo in serie sarebbe quindi $f(t) = 1/2 + sum_(-infty)^(+infty) 1/2 hat f(n) e^(i n t) = 1/2 + sum_1^infty hat f(n) e^(i n t)$
Il risultato corretto è $f(t) = 1/4 - sum_1^infty ((2 cos (2 n - 1) pi t))/((2 n - 1)^2 pi^2) + ((- 1)^n sin (n pi t))/(n pi)$
Come ci arrivo? Il mio risultato è completamente diverso! Potrei usare la formula di Eulero per sviluppare l'esponenziale, ma poi?
P.S: Il prof vuole che usiamo questo sviluppo al posto di quello classico in seno e coseno...
Risposte
Per favore...io e i miei compagni siamo tutti quanti in crisi...
secondo me $\hat f(n)=\int_0^1te^{-i n t \pi}dt$ (se il il periodo e' 2 la "base" rispetto a cui sviluppare sono le funzioni $e^{i n t \pi}$) - avrei anche diviso per il periodo (cioe' per 2) ma forse dipende dalle definizioni.
Se e' cosi', integrando per parti
$\hat f(n)=[t\frac{e^{-i n t \pi}}{-i n\pi}]_0^1+\frac{1}{i n \pi}\int_0^1 e^{-i n t \pi}dt=i\frac{e^{-i n \pi}}{n\pi}+\frac{1}{i n \pi}[\frac{e^{-i n t \pi}}{-i n \pi}]_0^1=\frac{(-1)^n i}{\pi n}+\frac{(-1)^n-1}{\pi^2 n^2}$
a questo punto bisogna mettere tutto in seni e coseni - pero' qui sarebbe meglio seguire il procedimento del tuo prof. non hai una formula che dagli $\hat f(n)$ ti da' gli $a_n$ e i $b_n$
che moltiplicano i coseni e i seni ?
Se e' cosi', integrando per parti
$\hat f(n)=[t\frac{e^{-i n t \pi}}{-i n\pi}]_0^1+\frac{1}{i n \pi}\int_0^1 e^{-i n t \pi}dt=i\frac{e^{-i n \pi}}{n\pi}+\frac{1}{i n \pi}[\frac{e^{-i n t \pi}}{-i n \pi}]_0^1=\frac{(-1)^n i}{\pi n}+\frac{(-1)^n-1}{\pi^2 n^2}$
a questo punto bisogna mettere tutto in seni e coseni - pero' qui sarebbe meglio seguire il procedimento del tuo prof. non hai una formula che dagli $\hat f(n)$ ti da' gli $a_n$ e i $b_n$
che moltiplicano i coseni e i seni ?
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