Serie di Fourier

[zoritativo]

Dovrei svolgere il seguente esercizio:
Sviluppare in serie di Fourier la f.ne DISPARI 4-periodica, che nell'intervallo [0,2] coincide con f(x) = $x-1/2x^2$

Come faccio a dedurre la funzione prolungamento per poi trovare la serie associata?Come rendo questa f.ne dispari?
Grazie
ciao!

[K.Lomax]

Se la funzione è dispari i coefficienti $a_n$ della serie di Fourier sono nulli, quindi ti basta calcolare

$b_n=\frac{2}{T/2}\int_{0}^{T/2}f(x)sinnxdx$

con $T=4$

[gugo82]

"zoritativo":Sviluppare in serie di Fourier la f.ne DISPARI 4-periodica, che nell'intervallo [0,2] coincide con f(x) = $x-1/2x^2$

Come faccio a dedurre la funzione prolungamento per poi trovare la serie associata?Come rendo questa f.ne dispari?

Innanzitutto devi prolungare $f$ in una funzione dispari $f^**$ su $[-2,2]$: visto che $f^**$ è dispari se e solo se risulta:

$AA x \in [-2,0], f^**(x)=-f(-x) \quad$ (infatti $-x \in [0,2]$)

ciò si fa semplicemente definendo:

$f^**(x):=\{(f(x), ", se " 0<=x<=2),(-f(-x), ", se " -2<=x<=0):}$.

Fatto ciò, prolunghi $f^**$ a tutto $RR$ per periodicità ed hai ottenuto la funzione che ti interessa.

I coefficienti di Fourier di tale funzione sono quelli indicati in precedenza, se non erro.

[zoritativo]

Innanzitutto grazie per le risposte (per i coefficienti non avevo problemi) mentre ancora ho dei dubbi sulla questione della disparità della f.ne

"Gugo82":
Innanzitutto devi prolungare $f$ in una funzione dispari $f^**$ su $[-2,2]$: visto che $f^**$ è dispari se e solo se risulta:

$AA x \in [-2,0], f^**(x)=-f(-x) \quad$ (infatti $-x \in [0,2]$)

Non mi è chiaro questo passaggio ( l'unica cosa che so è che una f.ne è dispari se f(-x)=-f(x) )
Poi certo se prendo per assodato questo punto il resto viene da sè ed ok

[gugo82]

Se prendi $x in [-2,0]$ allora $-x \in [0,2]$; $f^**$ è dispari se e solo se $f^**(x)=-f^**(-x)$, ma $f^**(-x)$ coincide con $f(-x)$ poiché $-x \in [0,2]$ ed $f^**$ è un prolungamento di $f$; quindi $f^**(x)=-f(-x)$ se $x \in [-2,0]$.