Serie Di Fourier

[98765432102]

salve, questa è la serie di Fourier:

$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^(+\oo)[a_ncos(n\omegat)+b_nsin(n\omegat)]$

da questa come si fa a dimostrare o meglio a passare alla forma complessa e a quella polare(in particolare a quest'ultima)?

[elgiovo]

Sviluppo in forma polare:

$x(t)=A_0+2 sum_(k>=1)A_k cos(2 pi k f_0 t + theta_k)$.

Da qui ottieni lo sviluppo in forma complessa:

$x(t)=sum_(k) X_k e^(j 2 pi k f_0 t)$

dove $X_0=A_0$, $X_k=A_k e^(j theta_k)$, $k=1,2,ldots$, $X_k=A_(-k) e^(- j theta_k)$, $k=ldots,-2,-1$.

Infine lo sviluppo in forma rettangolare

$x(t)=a_0+2 sum_(k>=1)[a_k cos(2 pi k f_0 t)-b_k sin(2 pi k f_0 t)]$,

dove $a_k=ccR[X_k]$, $b_k=ccI[X_k]$.

Volendo andare a ritroso, si ottiene facilmente che $X_k=a_k+jb_k$, e dunque che $A_k=(X_k)/(e^(j theta_k))=X_k e^(- j theta_k)$.

[98765432102]

"elgiovo":Sviluppo in forma polare:

$x(t)=A_0+2 sum_(k>=1)A_k cos(2 pi k f_0 t + theta_k)$.

si le formule le conosco ma io volevo sapere questa da dove deriva, come si ricava, una dimostrazione cioè attraverso quali passaggi ottengo quel risultato?

[elgiovo]

Secondo me conviene partire dalla forma complessa. Hai che, in $[-T/2,T/2]$, le funzioni $e^(j2pikf_0t)$ formano un set ortogonale completo. Vuol dire che puoi "proiettare" una qualsiasi funzione di dominio $[-T/2,T/2]$ su ciascuna funzione di base $omega_k=e^(j2pikf_0t)$. Queste funzioni sono ortogonali, nel senso che $1/2int_(-T/2)^(T/2)omega_j*bar(omega_k)"d"t=delta_(jk)$. I coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier sono proprio i coefficienti della funzione che si vuole sviluppare, sulla base costituita dalle $omega_k$. Da qui ottieni la somma di proiezioni $x(t)=sum_(k) X_k e^(j 2 pi k f_0 t)$, che è lo sviluppo in serie di Fourier di $x(t)$. Poi passare dalla forma complessa alle altre è semplice, si tratta di qualche conto trigonometrico, che dà le relazioni tra i coefficienti dei vari tipi di sviluppo, come ti ho fatto vedere poc'anzi. Sostanzialmente, anche le altre forme si basano su set di funzioni ortogonali. Ad esempio la forma polare sfrutta l'ortogonalità delle funzioni $zeta_k=cos(2 pi k f_0 t + theta_k)$. Occhio al fatto che non tutte le funzioni periodiche possono essere sviluppate in serie di Fourier: queste devono infatti sottostare al cosiddetto "criterio di Dirichlet": una funzione regolare a tratti che abbia un numero finito di estremi e di discontinuità è sviluppabile in serie di Fourier. La serie converge puntualmente alla funzione e a $(x(t_0^+)+x(t_0^-))/2$ nei punti $t_0$ di discontinuità.

[98765432102]

"elgiovo":Sviluppo in forma polare:

$x(t)=A_0+2 sum_(k>=1)A_k cos(2 pi k f_0 t + theta_k)$.

Da qui ottieni lo sviluppo in forma complessa:

$x(t)=sum_(k) X_k e^(j 2 pi k f_0 t)$

dove $X_0=A_0$, $X_k=A_k e^(j theta_k)$, $k=1,2,ldots$, $X_k=A_(-k) e^(- j theta_k)$, $k=ldots,-2,-1$

Su un testo ho trovato come sviluppo polare questo:
$x(t)=A_0+ sum_(k>=1)A_k sin(2 pi k f_0 t + theta_k)$
con la funzione seno al posto del coseno e manca anche il coefficiente 2 che moltiplica $A_k$
volevo chiedervi se questa formula è equivalente a quella col coseno e se vale sempre la relazione:
$X_0=A_0$, $X_k=A_k e^(j theta_k)$ dove $X_k$ è il coefficiente delle serie di fourier in forma complessa???

[elgiovo]

Devi modificare le relazioni tenendo conto della mancanza del fattore $2$ e che $cos(2pikf_0t+theta_k)=sin(2pikf_0t+theta_k+pi/2)$.

[98765432102]

si ma entrambe quelle serie polari sono tra loro equivalenti?

[elgiovo]

"9876543210":si ma entrambe quelle serie polari sono tra loro equivalenti?

Visto quanto detto prima, puoi passare da qui

$x(t)=A_0+2 sum_(k>=1)A_k cos(2pik f_0 t + theta_k)$

a qui

$x(t)=A_0'+ sum_(k>=1)A_k' sin(2pik f_0 t + theta_k')$

con $A_0'=A_0$, $A_k'=2A_k$, $theta_k'=theta_k+pi/2$.

Anche se non so quanto questo risponda alla tua nozione di "equivalenza" (dovresti essere più preciso quando parli di matematica).