Serie di Fourier
Salve ,
Dovrei trovare il valore di $c_0$ della funzione $x(t)=2t+1$ con periodo $T=2$ nell'intervallo $[-1;1[$
Io ho fatto cosi' , la funzione non é ne pari ne dispari , quindi per la serie di Fourier si ha che $\alpha_0=c_0$
dunque dovrei applicare l'integrale definito $1/T*intx(t)dt$ che va da 0 a T .
Quindi avrei $1/2int2t+1dt=1/2*[t^2+t]=1/2[4+2]=6/2=3$ quindi $c_0$ dovrebbe essere uguale a 3.
A questo punto devo confrontarlo con l'intervallo $[-1;1[$ ? Perche la soluzione non é 3 e non mi é chiaro
come confrontare il risultato con l'intervallo richiesto. Qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Grazie
Ben
Dovrei trovare il valore di $c_0$ della funzione $x(t)=2t+1$ con periodo $T=2$ nell'intervallo $[-1;1[$
Io ho fatto cosi' , la funzione non é ne pari ne dispari , quindi per la serie di Fourier si ha che $\alpha_0=c_0$
dunque dovrei applicare l'integrale definito $1/T*intx(t)dt$ che va da 0 a T .
Quindi avrei $1/2int2t+1dt=1/2*[t^2+t]=1/2[4+2]=6/2=3$ quindi $c_0$ dovrebbe essere uguale a 3.
A questo punto devo confrontarlo con l'intervallo $[-1;1[$ ? Perche la soluzione non é 3 e non mi é chiaro
come confrontare il risultato con l'intervallo richiesto. Qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Grazie
Ben
Risposte
"ben":
Quindi avrei $1/2int2t+1dt=1/2*[t^2+t]=1/2[4+2]=6/2=3$ quindi $c_0$ dovrebbe essere uguale a 3.
Quell'integrale tra quali estremi lo fai?
grazie per le risposte , tra 0 e 2 visto che va da 0 a T e T=2
No. Devi farlo tra $-1$ e $1$. Il segnale evidentemente è definito per ogni $t$ ed è la replica periodica di un segnale generatore che il testo ti definisce in $(-1,1)$.
Grazie , ho capito , infatti torna il conto.
La formula dice che va calcolato da 0 a T dove T é il periodo , non avevo capito che bisognava
sostituirlo con l'intervallo.
La formula dice che va calcolato da 0 a T dove T é il periodo , non avevo capito che bisognava
sostituirlo con l'intervallo.
Il segnale è periodico, quindi l'integrale lo puoi fare su qualunque intervallo di ampiezza $T=2$. Puoi farlo ad esempio tra $0$ e $2$ oppure tra $5$ e $7$ o anche tra $sqrt(3)$ e $2+sqrt(3)$. Il problema però è che, se non lo fai nell'intervallo in cui ti è stato definito il segnale generatore, non disponi dell'espressione analitica in quell'intervallo e devi andare a calcolartela a mano. Morale della favola: l'integrale fallo dove ti dice il testo 
capito 
grazie
grazie
un ulteriore chiarimento per favore.
Se avessi una funzione $x(t)$ tale che $x(t)=t/2$ nell'intervallo [0;1] e $x(t)=(2-t)/2$ in [1;2]
con $w=2$ , in qs caso per trovare $a_0=c_0$ dovrei fare $1/T$ che moltiplica l'integrale da 0 a 1
di $x(t)=t/2$ e sommare $1/T$ che moltiplica l'integrale da 1 a 2 di $x(t)=(2-t)/2$ ?
Grazie
Ben
Se avessi una funzione $x(t)$ tale che $x(t)=t/2$ nell'intervallo [0;1] e $x(t)=(2-t)/2$ in [1;2]
con $w=2$ , in qs caso per trovare $a_0=c_0$ dovrei fare $1/T$ che moltiplica l'integrale da 0 a 1
di $x(t)=t/2$ e sommare $1/T$ che moltiplica l'integrale da 1 a 2 di $x(t)=(2-t)/2$ ?
Grazie
Ben
Sì. In questo caso è $T=2$, ma credo che tu già lo sappia.
grazie Kroldar
"ben":
un ulteriore chiarimento per favore.
Se avessi una funzione $x(t)$ tale che $x(t)=t/2$ nell'intervallo [0;1] e $x(t)=(2-t)/2$ in [1;2]
con $w=2$ , in qs caso per trovare $a_0=c_0$ dovrei fare $1/T$ che moltiplica l'integrale da 0 a 1
di $x(t)=t/2$ e sommare $1/T$ che moltiplica l'integrale da 1 a 2 di $x(t)=(2-t)/2$ ?
Grazie
Ben
se la funzione non é ne pari ne disparti si ha che :
$T=2->T/2=1/2$
$\alpha_0=1/2[int_0^1t/2dt+int_1^2(1-t/2)dt]=1/2[t^2/4]_0^1+1/2[t-t^2/4]_1^2=1/4$
se la funzione fosse stata per esempio dispari ... in questo caso che é spezzata su due
intervalli per avere $\beta_k$ avrei dovuto calcolare $\beta_k=4/Tint_0^(T/2)x(t)sinkwtdt$.
vuol dire $\beta_k=4/2int_0^(1)x(t)sinkwtdt+4/2int_1^(2)x(t)sinkwtdt$ giusto ?
Non riesco a seguirti appieno 
Se il segnale è dispari non cambia perfettamente nulla rispetto al caso base.
Se il segnale è dispari non cambia perfettamente nulla rispetto al caso base.
Ok , anche se la funzione é pari o dispari nonostante la formula consideri
l'intervallo per esempio da [0;T/2] io cmq metto negli integrali l'intervallo dato dal problema.
il problema che ho é un altro. ho un esercizio a risposte multiple che chiede di trovare fra le
possibili risposte fornite la serie corretta , 2 le ho scartate perché una aveva $w!=pi$ ed essendo
$T=2$ é errata. L'altra perché $\alpha_0=0$ e ho visto che $\alpha_0=1/4$ ammesso che la
funzione non sia ne pari ne dispari ( a me non sembra).
le ultime due possibilità sono :
3. $1/4+sum_(k=1)^oo(\alpha_kcoskpit)$
4. $1/4+sum_(k=1)^oo(\beta_ksinkpit)$
Credo ci sia una via per trovare quella giusta senza calcolare anche $\alpha_k$ e $\beta_k$.
Visto che nella soluzione ci sono nella terza $\alpha_k$ e nella quarta $\beta_k$ ,
allora se $x(t)$ fosse stata pari la risposta corretta sarebbe stata la terza , in cui
manca $\beta_k$. Se invece fosse stata dispari la riposta corretta non sarebbe potuta essere
la quarta, perché se dispari $\alpha_0=\alpha_k=0$ e non potrebbe essere $\alpha_0=1/4$
come nel testo dell'esercizio.
Quindi o la funzione $x(t)$ é pari e la corretta é la terza e di conseguenza io ho sbagliato a
vedere se la funzione é pari o dispari (ma non mi pare in tali intervalli sia pari).
Oppure se non é ne pari ne dispari , la serie puo' comunque avere o $\alpha_k=0$ o $\beta_k=0$.
Cioé posso avere $\alpha_k$ o $\beta_k$ uguali a zero pur essendo $x(t)$ ne pari ne dispari ?
In questo caso potrei allora calcolare $\alpha_k$ o $\beta_k$ e vedere se una delle due ha un valore
oppue é nulla.
nulla.
l'intervallo per esempio da [0;T/2] io cmq metto negli integrali l'intervallo dato dal problema.
il problema che ho é un altro. ho un esercizio a risposte multiple che chiede di trovare fra le
possibili risposte fornite la serie corretta , 2 le ho scartate perché una aveva $w!=pi$ ed essendo
$T=2$ é errata. L'altra perché $\alpha_0=0$ e ho visto che $\alpha_0=1/4$ ammesso che la
funzione non sia ne pari ne dispari ( a me non sembra).
le ultime due possibilità sono :
3. $1/4+sum_(k=1)^oo(\alpha_kcoskpit)$
4. $1/4+sum_(k=1)^oo(\beta_ksinkpit)$
Credo ci sia una via per trovare quella giusta senza calcolare anche $\alpha_k$ e $\beta_k$.
Visto che nella soluzione ci sono nella terza $\alpha_k$ e nella quarta $\beta_k$ ,
allora se $x(t)$ fosse stata pari la risposta corretta sarebbe stata la terza , in cui
manca $\beta_k$. Se invece fosse stata dispari la riposta corretta non sarebbe potuta essere
la quarta, perché se dispari $\alpha_0=\alpha_k=0$ e non potrebbe essere $\alpha_0=1/4$
come nel testo dell'esercizio.
Quindi o la funzione $x(t)$ é pari e la corretta é la terza e di conseguenza io ho sbagliato a
vedere se la funzione é pari o dispari (ma non mi pare in tali intervalli sia pari).
Oppure se non é ne pari ne dispari , la serie puo' comunque avere o $\alpha_k=0$ o $\beta_k=0$.
Cioé posso avere $\alpha_k$ o $\beta_k$ uguali a zero pur essendo $x(t)$ ne pari ne dispari ?
In questo caso potrei allora calcolare $\alpha_k$ o $\beta_k$ e vedere se una delle due ha un valore
oppue é nulla.
nulla.
Ricordati le proprietà di simmetria del seno e del coseno...
Grazie Kroldar per gli aiuti.
Mi ricordo che $cosx$ é pari e $sinx$ é dispari , ma faccio fatica a collegarle con il segnale x(t) dato dal testo.
Se guardo la soluzione 3. dato che $cosx$ é pari per il ragionamente fatto prima é quella giusta.
Pero' Il grafico della funzione x(t) nei sui intervalli dovrebbe essere come nella foto e se non ho sbagliato tutto il grafico , non é ne pari
ne dispari. In questo caso , se non avessi avuto la scelta multipla , con le possibili soluzini , per me essendo $x(t)$ ne pari ne dispari
l'avrei calcolata con $\alpha_0,\alpha_k,\beta_k$
Mi ricordo che $cosx$ é pari e $sinx$ é dispari , ma faccio fatica a collegarle con il segnale x(t) dato dal testo.
Se guardo la soluzione 3. dato che $cosx$ é pari per il ragionamente fatto prima é quella giusta.
Pero' Il grafico della funzione x(t) nei sui intervalli dovrebbe essere come nella foto e se non ho sbagliato tutto il grafico , non é ne pari
ne dispari. In questo caso , se non avessi avuto la scelta multipla , con le possibili soluzini , per me essendo $x(t)$ ne pari ne dispari
l'avrei calcolata con $\alpha_0,\alpha_k,\beta_k$
Aspetta... del segnale devi considerarne la replica periodica. Se provi a replicare la finestra triangolare, ti accorgi che è un segnale pari. Ora, essendo il seno una funzione dispari, il prodotto tra una funzione pari e una dispari è ancora una funzione dispari, la quale integrata su un intervallo simmetrico dà risultato nullo. Ecco perché la serie di Fourier di un segnale pari è in soli coseni.
azz... ecco perché 
si certo il triangolo se replicato si vede subito che é pari, quindi i conti tornano , si risolveva in 2 minuti. (e ci ho perso diverse ore 
) adesso ho capito. io pensavo che bisognava verificare la parità solo nell'intervallo dato...
Ho un paio di esercizi in cui le $x(t)$ sono porte e gradini , dopo povo a farli..
si certo il triangolo se replicato si vede subito che é pari, quindi i conti tornano , si risolveva in 2 minuti. (e ci ho perso diverse ore ) adesso ho capito. io pensavo che bisognava verificare la parità solo nell'intervallo dato...Ho un paio di esercizi in cui le $x(t)$ sono porte e gradini , dopo povo a farli..
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