Serie di Fourier
Non riesco a capire come si svolgono i due seguenti esercizi
1)
Si scriva la serie di Fourier dell'estensione periodica della funzione $f:[0,3[ to RR$,definita da
$f(x)=[x]+1$
ove $[x]$ denota la parte intera di $x$.
2)
Si scriva la serie di Fourier della ripetizione periodica
$x_T^(**)=sum_(k=-oo)^(+oo)x(t-kT)$
ove $T$ è una costante reale positiva e
$x(t)=t/(4+t^2)^2
1)
Si scriva la serie di Fourier dell'estensione periodica della funzione $f:[0,3[ to RR$,definita da
$f(x)=[x]+1$
ove $[x]$ denota la parte intera di $x$.
2)
Si scriva la serie di Fourier della ripetizione periodica
$x_T^(**)=sum_(k=-oo)^(+oo)x(t-kT)$
ove $T$ è una costante reale positiva e
$x(t)=t/(4+t^2)^2
Risposte
Per l'esercizio 1 non credo si debba fare altro che applicare la definizione... calcola i coefficienti della serie tramite il solito integrale.
Per l'esercizio 2 magari potrebbe risultare più semplice passare per la trasformata di Fourier. Come tu ben saprai, esiste uno stretto legame tra la trasformata e la serie di Fourier di un segnale periodico. Non dovrebbe essere difficile trasformare quella funzione.
Per l'esercizio 2 magari potrebbe risultare più semplice passare per la trasformata di Fourier. Come tu ben saprai, esiste uno stretto legame tra la trasformata e la serie di Fourier di un segnale periodico. Non dovrebbe essere difficile trasformare quella funzione.
1)
Qual è l'estensione periodica della funzione data?
2)
Intendi il teorema di Shannon?
Qual è l'estensione periodica della funzione data?
2)
Intendi il teorema di Shannon?
In risposta alla prima domanda: sia $g(x)$ l'estensione periodica di $f$: allora se $x !in [0,3[$, $g(x)=f(x mbox( mod ) 3)$.
Esempio: se $x=5$ allora $g(5)=f(5mbox( mod )3)=f(2)=|__2__|+1$.
Esempio: se $x=5$ allora $g(5)=f(5mbox( mod )3)=f(2)=|__2__|+1$.
"elgiovo":
In risposta alla prima domanda: sia $g(x)$ l'estensione periodica di $f$: allora se $x !in [0,3[$, $g(x)=f(x mbox( mod ) 3)$.
Esempio: se $x=5$ allora $g(5)=f(5mbox( mod )3)=f(2)=|__2__|+1$.
Nel corso non si sono utilizzate congruenze!
Non mi sembra un ostacolo insormontabile. Era solo per far capire.
In termini più spiccioli: immagina di disegnare il grafico di $f(x)$, nell'intervallo di definizione,
e poi di copiare e incollare questo grafico infinite volte sull'asse delle ascisse (a destra e a sinistra
del grafico originale). Avrai ottenuto il grafico dell'estensione periodica di $f(x)$.
In termini più spiccioli: immagina di disegnare il grafico di $f(x)$, nell'intervallo di definizione,
e poi di copiare e incollare questo grafico infinite volte sull'asse delle ascisse (a destra e a sinistra
del grafico originale). Avrai ottenuto il grafico dell'estensione periodica di $f(x)$.
"Sturmentruppen":
Intendi il teorema di Shannon?
No. Intendo il primo teorema di campionamento e sue conseguenze.
"Kroldar":
[quote="Sturmentruppen"]
Intendi il teorema di Shannon?
No. Intendo il primo teorema di campionamento e sue conseguenze.[/quote]
Purtroppo non riesco a capire qual è,magari si cela sotto un altro nome..boh
Per quanto riguarda il primo sarà quindi:
$a_n=2/3int_0^3([x]+1)*cos((2pinx)/3)dx
$b_n=2/3int_0^3([x]+1)*sin((2pin)/3)dx
???
$a_n=2/3int_0^3([x]+1)*cos((2pinx)/3)dx
$b_n=2/3int_0^3([x]+1)*sin((2pin)/3)dx
???
"Sturmentruppen":
Per quanto riguarda il primo sarà quindi:
$a_n=2/3int_0^3([x]+1)*cos((2pinx)/3)dx
$b_n=2/3int_0^3([x]+1)*sin((2pin)/3)dx
???
Sì.
"Sturmentruppen":
Purtroppo non riesco a capire qual è,magari si cela sotto un altro nome..boh
Cerco di essere più chiaro. Hai un segnale a supporto compatto e ne conosci la trasformata di Fourier... a partire da quest'ultima si può risalire ai coefficienti della serie di Fourier della replica periodica del segnale di base? La risposta è: certo! Chi ce lo assicura? Un teorema che io chiamo primo teorema di campionamento, ma che tu puoi chiamare come più ti aggrada.
"Kroldar":
[quote="Sturmentruppen"]Per quanto riguarda il primo sarà quindi:
$a_n=2/3int_0^3([x]+1)*cos((2pinx)/3)dx
$b_n=2/3int_0^3([x]+1)*sin((2pin)/3)dx
???
Sì.
[/quote]
Ed ora come la tratto la parte intera in questi integrali?
La funzione $[x]$ vale costantemente $0$ in $[0,1)$, costantemente $1$ in $[1,2)$ e così via...
Se spezzi l'integrale in $3$ parti viene facilissimo.
Se spezzi l'integrale in $3$ parti viene facilissimo.
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