Serie di Fourier
Scrivere la serie di Fourier della funzione definita da $f:[-pi,pi/2[->RR$,con $f(x)=e^x$
Risposte
Scusa l'ignoranza, su 'sta roba sono un po' arrugginito, ma la serie di Fourier non si scrive per segnali periodici a energia finita sul periodo?
"Tipper":
Scusa l'ignoranza, su 'sta roba sono un po' arrugginito, ma la serie di Fourier non si scrive per segnali periodici a energia finita sul periodo?
Scusa la mia di ignoranza,ma nel corso da me seguito (matematica applicata),non ho mai sentito parlare di ciò che dici tu.L'esercizio è preso da un compito assegnato tempo fa.
Per quanto ne so io (poco sull'argomento, in verità 
) una funzione periodica $f$ si può scrivere in serie di Fourier come $f(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{j 2 \pi \frac{n}{T} t}$, dove $T$ è il periodo, e $c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j 2 \pi \frac{n}{T} t}dt$, e in particolare $c_0$ è il valor medio della funzione.
) una funzione periodica $f$ si può scrivere in serie di Fourier come $f(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{j 2 \pi \frac{n}{T} t}$, dove $T$ è il periodo, e $c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j 2 \pi \frac{n}{T} t}dt$, e in particolare $c_0$ è il valor medio della funzione.
si, scrivere la serie di Fourier di una funzione non è altro che sviluppare la stessa sulla base ortonormata ${exp ((2 pi i n t )/ T) }$ con n da 0 a +inf...
Enea, devi farti solo il "contaccio" che ha scritto Tipper (che non è altro che il prodotto scalare tra la funzione e ciascun elemento della base)
Enea, devi farti solo il "contaccio" che ha scritto Tipper (che non è altro che il prodotto scalare tra la funzione e ciascun elemento della base)
La serie di Fourier e' formalmente definita anche per una funzione
non periodica nell'intervallo (c,c+2L) ed i coeff. sono dati da:
$a_n=1/L int_c^(c+2L)f(x)cos((pi n x)/L)dx,b_n=1/L int_c^(c+2L)f(x)sin((pi n x)/L)dx$
Nel nostro caso e':
$c=-pi,c+2L=(pi)/2,2L=(pi)/2-(-pi)=3/2pi,L=3/4pi,f(x)=e^x$ e quindi:
$a_n=4/(3pi) int_(-pi)^((pi)/2)e^xcos((pi n x)/L)dx,b_n=4/(3pi) int_(-pi)^((pi)/2)e^xsin((pi n x)/L)dx$
Gli integrali del tipo indicato si trovano,a meno di una costante inessenziale, con le formule:
$inte^xcoskxdx=(e^x)/(1+k^2)(coskx+ksinkx)$
$inte^xsinkxdx=(e^x)/(1+k^2)(-kcoskx+sinkx)$
In questo caso e' $k=(npi)/L=4/3n,n=1,2,3,...$
karl
non periodica nell'intervallo (c,c+2L) ed i coeff. sono dati da:
$a_n=1/L int_c^(c+2L)f(x)cos((pi n x)/L)dx,b_n=1/L int_c^(c+2L)f(x)sin((pi n x)/L)dx$
Nel nostro caso e':
$c=-pi,c+2L=(pi)/2,2L=(pi)/2-(-pi)=3/2pi,L=3/4pi,f(x)=e^x$ e quindi:
$a_n=4/(3pi) int_(-pi)^((pi)/2)e^xcos((pi n x)/L)dx,b_n=4/(3pi) int_(-pi)^((pi)/2)e^xsin((pi n x)/L)dx$
Gli integrali del tipo indicato si trovano,a meno di una costante inessenziale, con le formule:
$inte^xcoskxdx=(e^x)/(1+k^2)(coskx+ksinkx)$
$inte^xsinkxdx=(e^x)/(1+k^2)(-kcoskx+sinkx)$
In questo caso e' $k=(npi)/L=4/3n,n=1,2,3,...$
karl
"karl":
La serie di Fourier e' formalmente definita anche per una funzione
non periodica nell'intervallo (c,c+2L) ed i coeff. sono dati da:
$a_n=1/L int_c^(c+2L)f(x)cos((pi n x)/L)dx,b_n=1/L int_c^(c+2L)f(x)sin((pi n x)/L)dx$
Nel nostro caso e':
$c=-pi,c+2L=(pi)/2,2L=(pi)/2-(-pi)=3/2pi,L=3/4pi,f(x)=e^x$ e quindi:
$a_n=4/(3pi) int_(-pi)^((pi)/2)e^xcos((pi n x)/L)dx,b_n=4/(3pi) int_(-pi)^((pi)/2)e^xsin((pi n x)/L)dx$
Gli integrali del tipo indicato si trovano,a meno di una costante inessenziale, con le formule:
$inte^xcoskxdx=(e^x)/(1+k^2)(coskx+ksinkx)$
$inte^xsinkxdx=(e^x)/(1+k^2)(-kcoskx+sinkx)$
In questo caso e' $k=(npi)/L=4/3n,n=1,2,3,...$
karl
Grazie karl,era proprio questo l'approccio che cercavo.6 sempre molto bravo e preciso.Grazie anche agli altri comunque!
"karl":
La serie di Fourier e' formalmente definita anche per una funzione
non periodica nell'intervallo (c,c+2L) ed i coeff. sono dati da:
$a_n=1/L int_c^(c+2L)f(x)cos((pi n x)/L)dx,b_n=1/L int_c^(c+2L)f(x)sin((pi n x)/L)dx$
Nel nostro caso e':
$c=-pi,c+2L=(pi)/2,2L=(pi)/2-(-pi)=3/2pi,L=3/4pi,f(x)=e^x$ e quindi:
$a_n=4/(3pi) int_(-pi)^((pi)/2)e^xcos((pi n x)/L)dx,b_n=4/(3pi) int_(-pi)^((pi)/2)e^xsin((pi n x)/L)dx$
Gli integrali del tipo indicato si trovano,a meno di una costante inessenziale, con le formule:
$inte^xcoskxdx=(e^x)/(1+k^2)(coskx+ksinkx)$
$inte^xsinkxdx=(e^x)/(1+k^2)(-kcoskx+sinkx)$
In questo caso e' $k=(npi)/L=4/3n,n=1,2,3,...$
karl
Mi è venuto un dubbio;in esercizi del genere va bene che $a_n,b_n$ sono quelli che hai detto tu,ma non devo anche tener conto dell'intervallo in cui è definita la nostra funzione?
Ad esempio,in questo caso,per calcolare $b_n$ devo integrare $e^xsen(4kx/3)$ tra $-pi$ e $pi/2$... non devo tener conto che la funzione vale $senx$ se $-pi<=x<0$ e quindi integrare solo tra $-pi$ e $0$?
Non capisco la tua difficolta'.Il tener conto del segno della funzione
e' una cosa che avrebbe senso qualora nell'integrale comparisse in modulo
la funzione ( o qualche parte di essa) .Ma qui non e' così:devi solo fare
i calcoli ,nient'altro.
D'altra parte la funzione non contiene solo il seno ma anche l'esponenziale
ed essa e' definita dovunque.
karl
e' una cosa che avrebbe senso qualora nell'integrale comparisse in modulo
la funzione ( o qualche parte di essa) .Ma qui non e' così:devi solo fare
i calcoli ,nient'altro.
D'altra parte la funzione non contiene solo il seno ma anche l'esponenziale
ed essa e' definita dovunque.
karl
"karl":
Non capisco la tua difficolta'.Il tener conto del segno della funzione
e' una cosa che avrebbe senso qualora nell'integrale comparisse in modulo
la funzione ( o qualche parte di essa) .Ma qui non e' così:devi solo fare
i calcoli ,nient'altro.
D'altra parte la funzione non contiene solo il seno ma anche l'esponenziale
ed essa e' definita dovunque.
karl
Scusami ma mi ero rincoglionito....stavo guardando il testo di un altro esercizio e la tua soluzione!
Scrivere la serie di Fourier di $f:[-pi,pi/2]->RR$ definita da $f(x)={(senx,-pi<=x<0),(cosx,0
Se l'intervallo fosse $[-1,1]$ quelle formule continuano a valere?
Se l'intervallo fosse $[-1,1]$ quelle formule continuano a valere?
A) Il ragionamento vale .Basta spezzare opportunamente l'intervallo dato
in modo che in $[-pi,0[$ f(x)=sinx e in $ ]0,(pi)/2[$ f(x)=cosx.
B) Quelle formule che ti ho suggerito ,se e' a quelle che ti riferisci,sono
valide per tutti gli intervalli che ti venissero in mente.
Nel caso [-1,1] e' $c=-1,c+2L=1,L=(1-(-1))/2=1$
karl
in modo che in $[-pi,0[$ f(x)=sinx e in $ ]0,(pi)/2[$ f(x)=cosx.
B) Quelle formule che ti ho suggerito ,se e' a quelle che ti riferisci,sono
valide per tutti gli intervalli che ti venissero in mente.
Nel caso [-1,1] e' $c=-1,c+2L=1,L=(1-(-1))/2=1$
karl
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