Serie di Fourier
Salve, volevo sapere se ho svolto in modo corretto il seguente esercizio :
Per quanto riguarda il prolungamento l'ho fatto così :
Poi sono passato al calcolo della funzione. Per la prima retta conosco i punti \(\displaystyle (0,1) \space (\frac {\pi } {2}, 2) \) e per la seconda \(\displaystyle (\frac {\pi } {2}, 1) \space (\pi , 0) \) quindi la funzione è :
\(\displaystyle f(x)= \begin {cases} \frac {2x} {\pi } +1 \space \space 0\leq x \leq \frac {\pi } {2} \\ -\frac {2x} {\pi } +2 \space \space \frac {\pi } {2}\leq x\leq \pi \end {cases} \)
Infine passo al calcolo dei coefficienti della serie di Fourier :
\(\displaystyle a_0= \frac {2} {2\pi } \int_0^{\pi } f(x) dx= \frac {1} {\pi } (\int_0^{\frac {\pi } {2}} \frac {2x} {\pi } +1 \space dx +\int_{\frac {\pi } {2}}^{\pi } -\frac {2x} {\pi } +2 \space dx) \)
\(\displaystyle a_n= \frac {2} {2\pi } \int_0^{\pi } f(x)cos(\frac {2\pi } {2\pi } nx)\space dx = \frac {1} {\pi } (\int_0^{\frac {\pi } {2}} (\frac {2x} {\pi } +1) cos(nx)\space dx +\int_{\frac {\pi } {2}}^{\pi } -(\frac {2x} {\pi } +2)cos(nx) \space dx \space ) \)
\(\displaystyle b_n= \frac {2} {2\pi } \int_0^{\pi } f(x)sen(\frac {2\pi } {2\pi } nx)\space dx = \frac {1} {\pi } (\int_0^{\frac {\pi } {2}} (\frac {2x} {\pi } +1) sen(nx)\space dx +\int_{\frac {\pi } {2}}^{\pi } -(\frac {2x} {\pi } +2)sen(nx) \space dx \space ) \)
Dopo di che svolgo gli integrali e mi studio la serie. Non inserisco queste due parti perché ancora non le svolgo siccome non so se lo svolgimento fino ad adesso è fatto bene.
Per quanto riguarda il prolungamento l'ho fatto così :
Poi sono passato al calcolo della funzione. Per la prima retta conosco i punti \(\displaystyle (0,1) \space (\frac {\pi } {2}, 2) \) e per la seconda \(\displaystyle (\frac {\pi } {2}, 1) \space (\pi , 0) \) quindi la funzione è :
\(\displaystyle f(x)= \begin {cases} \frac {2x} {\pi } +1 \space \space 0\leq x \leq \frac {\pi } {2} \\ -\frac {2x} {\pi } +2 \space \space \frac {\pi } {2}\leq x\leq \pi \end {cases} \)
Infine passo al calcolo dei coefficienti della serie di Fourier :
\(\displaystyle a_0= \frac {2} {2\pi } \int_0^{\pi } f(x) dx= \frac {1} {\pi } (\int_0^{\frac {\pi } {2}} \frac {2x} {\pi } +1 \space dx +\int_{\frac {\pi } {2}}^{\pi } -\frac {2x} {\pi } +2 \space dx) \)
\(\displaystyle a_n= \frac {2} {2\pi } \int_0^{\pi } f(x)cos(\frac {2\pi } {2\pi } nx)\space dx = \frac {1} {\pi } (\int_0^{\frac {\pi } {2}} (\frac {2x} {\pi } +1) cos(nx)\space dx +\int_{\frac {\pi } {2}}^{\pi } -(\frac {2x} {\pi } +2)cos(nx) \space dx \space ) \)
\(\displaystyle b_n= \frac {2} {2\pi } \int_0^{\pi } f(x)sen(\frac {2\pi } {2\pi } nx)\space dx = \frac {1} {\pi } (\int_0^{\frac {\pi } {2}} (\frac {2x} {\pi } +1) sen(nx)\space dx +\int_{\frac {\pi } {2}}^{\pi } -(\frac {2x} {\pi } +2)sen(nx) \space dx \space ) \)
Dopo di che svolgo gli integrali e mi studio la serie. Non inserisco queste due parti perché ancora non le svolgo siccome non so se lo svolgimento fino ad adesso è fatto bene.
Risposte
Ciao Elia1999.
Scusa, un prolungamento dispari nonn dovrebbe dare una funzione dispari, $f(-x)=-f(x)$?
Quella che tu hai disegnato non lo è.
Scusa, un prolungamento dispari nonn dovrebbe dare una funzione dispari, $f(-x)=-f(x)$?
Quella che tu hai disegnato non lo è.
Questo è il prolungamento dispari :
Mentre questo e il prolungamento periodico di \(\displaystyle 2\pi \) del prolungamento dispari :
Non ho ben capito cosa chiede l'esercizio, se è solo il prolungamento dispari allora va bene il primo grafico
Mentre questo e il prolungamento periodico di \(\displaystyle 2\pi \) del prolungamento dispari :
Non ho ben capito cosa chiede l'esercizio, se è solo il prolungamento dispari allora va bene il primo grafico
Penso che vada bene il primo grafico, la funzione è tra $-pi$ e $pi$, quindi definita in un intervallo di ampiezza $2pi$.
Quando ti dice di estenderla di periodo $2pi$ a tutto $ mathbb(R) $ significa che la devi ripetere tale e quale all'infinito in ogni intervallo di ampiezza $2pi$, dopo $pi$ e prima di $-pi$.
Quando ti dice di estenderla di periodo $2pi$ a tutto $ mathbb(R) $ significa che la devi ripetere tale e quale all'infinito in ogni intervallo di ampiezza $2pi$, dopo $pi$ e prima di $-pi$.
Ok grazie della risposta. Per quanto riguarda il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier, vanno bene quelli che ho scritto ?
Mi sembra che i coefficienti vadano bene, solo non mi trovo con gli estremi di integrazione, o meglio mi sembra che c'è un $2$ di troppo al denominatore nello scrivere i coefficienti:
$a_n= 2/(2pi)...$ dovrebbe essere $a_n= 2/(pi)...$ e lo stesso per $b_n$.
Tieni presente che essendo una funzione dispari dovrebbe espandersi in serie di soli seni, quindi gli $a_n$ dovrebbero essere $0$.
La formula dovrebbe essere, per una funzione dispari di periodo $2L$:
$b_n= 2/L int_(0)^(L) f(x)sin(npix)/L dx $.
$a_n= 2/(2pi)...$ dovrebbe essere $a_n= 2/(pi)...$ e lo stesso per $b_n$.
Tieni presente che essendo una funzione dispari dovrebbe espandersi in serie di soli seni, quindi gli $a_n$ dovrebbero essere $0$.
La formula dovrebbe essere, per una funzione dispari di periodo $2L$:
$b_n= 2/L int_(0)^(L) f(x)sin(npix)/L dx $.
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