Serie di fourier
salve,
sto studiando la serie di fourier ma il mio libro non è assolutamente chiaro al riguardo, inoltre su internet le spiegazioni sono molto eterogenee.
in particolare
si $f$ una funzione periodica supponiamo che ogni punto rispetti le condizioni di dirichlet allora la funzione converge al valore medio delle pseudo derivate.
ma converge uniformemente o puntualmente?
poi ho
sia $f$ definita da $R->R$ una funzione periodica di periodo $2pi_$ supponiamo che l'intervallo $[-pi_;pi_]$ possa essere diviso in un numero finito di intervalli dove la funzione è monotona allora la serie di fourier associata risulta convergente al valore medio delle pseudo derivate.
ma converge uniformemente o puntualmente?
quando si vuole esprimere una funzione come somma di una serie trigonometrica se è possibile farlo i coefficienti della serie sono sempre i coefficienti di fourier? in qunto la dimostrazione che ho sul libro riguardante questi coefficienti si basa sull'ipotesi che la serie trigonometrica converga uniformemente
grazie
sto studiando la serie di fourier ma il mio libro non è assolutamente chiaro al riguardo, inoltre su internet le spiegazioni sono molto eterogenee.
in particolare
si $f$ una funzione periodica supponiamo che ogni punto rispetti le condizioni di dirichlet allora la funzione converge al valore medio delle pseudo derivate.
ma converge uniformemente o puntualmente?
poi ho
sia $f$ definita da $R->R$ una funzione periodica di periodo $2pi_$ supponiamo che l'intervallo $[-pi_;pi_]$ possa essere diviso in un numero finito di intervalli dove la funzione è monotona allora la serie di fourier associata risulta convergente al valore medio delle pseudo derivate.
ma converge uniformemente o puntualmente?
quando si vuole esprimere una funzione come somma di una serie trigonometrica se è possibile farlo i coefficienti della serie sono sempre i coefficienti di fourier? in qunto la dimostrazione che ho sul libro riguardante questi coefficienti si basa sull'ipotesi che la serie trigonometrica converga uniformemente
grazie
Risposte
Se la funzione non è continua, la serie di Fourier non può convergere uniformemente. Infatti, una somma parziale di Fourier è una somma finita di seni e coseni, che sono funzioni continue. Se convergesse uniformemente, il limite sarebbe una funzione continua.
Il fallimento della convergenza uniforme in presenza di discontinuità di salto si chiama "fenomeno di Gibbs", prova a dare un'occhiata alla pagina di Wikipedia, sono cose simpatiche da osservare su grafici e animazioni. (Quando in una immagine JPG vedi delle distorsioni attorno ai contorni netti, stai osservando il fenomeno di Gibbs).
Il fallimento della convergenza uniforme in presenza di discontinuità di salto si chiama "fenomeno di Gibbs", prova a dare un'occhiata alla pagina di Wikipedia, sono cose simpatiche da osservare su grafici e animazioni. (Quando in una immagine JPG vedi delle distorsioni attorno ai contorni netti, stai osservando il fenomeno di Gibbs).
grazie
in tutti gli altri casi la convergenza è uniforme?
in tutti gli altri casi la convergenza è uniforme?
Up
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Io so che se la funzione è $C^1$, allora la convergenza è uniforme, ma probabilmente esistono condizioni sufficienti alla convergenza uniforme molto più fini di questa.
@otta: uuh, si, c'è tutta una tonnellata di teoremi e teoremini, sono problemi difficili. Comunque, un criterio classico è che la convergenza è uniforme se la funzione è "regolare a tratti", ovvero, se è regolare (\(C^1\)) tranne al più in un numero finito di punti, nei quali è continua e ammette derivata sinistra e destra.
Dovrebbe bastare anche $f$ continua e periodica di periodo $2\pi$ in $[-\pi,\pi]$ se supponiamo che i coefficienti $c_n$ di Fourier di $f$ siano tali che
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n| < +\infty$$
Il teorema lo cito qui viewtopic.php?f=36&t=197564
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n| < +\infty$$
Il teorema lo cito qui viewtopic.php?f=36&t=197564
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